10 клас

[Milenaa]

1зад. В даден равностранен триъгълник е вписан втори равностранен триъгълник с 3 пъти по- малко лице. Да се докаже, станите на двата триъгълника са взаимноперпендикулярни.

2зад. В триъгълник ABC AC>BC и ъглополовящите на външен и вътрешния ъгъл при върха C са равни. Да се докаже, че tgα=BC/AC

3зад. Хипотенузата на правоъгълен триъгълник се дели от допирната точка на вписаната окръжност в отношение 2:3. Да се намери синусът на по-малкия остър ъгъл на триъгълника.
Отг. 0,6

[Davids]

3. Зад.:

pravougulen_vpisana_sinus.png (28.82 KiB) Прегледано 314 пъти

Означил съм всичко, използвано е предимно свойството на допирателните.
Както е в този вид, единственото, което остава да се направи, е една питагорова теорема.
[tex]25x^2 = (2x+r)^2 + (3x+r)^2[/tex]
[tex]....[/tex]
[tex]6x^2 - 5xr - r^2 = 0 |:r^2[/tex]
Полагаме [tex]y = \frac{x}{r}[/tex]
Решаваме:
[tex]6y^2 - 5y - 1 = 0[/tex]
Единствен положителен корен е [tex]y = 1[/tex]
Следователно [tex]\frac{x}{r} = 1 \Leftrightarrow x = r[/tex]
Оттам вече имаме
[tex]sin\beta = \frac{3x}{5x} = 0,6[/tex]

[Nathi123]

2.зад. Нека CL и [tex]CL_{1 }[/tex] са равните ъглоп. при в.С [tex]\Rightarrow CL\bot CL_{1 } ; \angle CLL_{1 }=\angle LL_{1 }C=45^\circ ; \angle CAB=\alpha =45^\circ - \frac{\gamma}{2}; (\angle ACB=\gamma \angle CLL_{1 }[/tex] -външен за триъг. ALC)
Ако [tex]\angle ABC=\beta\Rightarrow \beta = 45^\circ + \frac{\gamma}{2} \Rightarrow \frac{AC}{sin\alpha}=\frac{BC}{sin\beta}[/tex] (синусова т-ма за тр. АВС)
[tex]\Rightarrow \frac{BC}{AC}=\frac{sin\alpha}{sin\beta}=\frac{sin(45^\circ-\frac{\gamma}{2})}{sin(45^\circ+\frac{\gamma}{2})}=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}(cos\frac{\gamma}{2}-sin\frac{\gamma}{2})}{\frac{\sqrt{2}}{2}(cos\frac{\gamma}{2}+sin\frac{\gamma}{2})}=\frac{cos\frac{\gamma}{2}(1-tg\frac{\gamma}{2})}{cos\frac{\gamma}{2}(1+tg\frac{\gamma}{2})}=tg(45^\circ-\frac{\gamma}{2})=tg\alpha\Rightarrow \frac{BC}{AC}=tg\alpha[/tex].

[KOPMOPAH]

1. Задача е решена тук: https://www.math10.com/f/viewtopic.php?f=38&t=18966#p78282

[Nathi123]

В зад. 2. от условието АС > BC [tex]\Rightarrow[/tex] точка В е между L и [tex]L_{1 }[/tex]