10 клас

[Milenaa]

1зад. В трапеца АBCD с гпляма основа АВ продълженията на бедрата AD и BC се пресичат в т.Е . Да се намери лицето на трапеца ако АD=a ъгъл DAC=ъгъл ABC = α и ъгъл BEA=90 градуса
Отг. а*2tgα/4sin*2 α

2зад. Около равнобедрен триъг АВС с ъгъл α=75 е описана окръжност. През върха С е построена хорда която пресича основата АВ . Да се намери лицето на АBC ако АВ разделя хордите на части а см и б см, считано от върха С.
Отг. а(а+б)/4 при а>= b(7+4корен от 3)

3зад. Ъгълът при върха С е три пъти по-голям от ъгъл В ,а ъглопол. на ъгъл А разделя лицето на триъг. в отношение 1:2 . Да се намерят ъглите на триъг. АВС
30;60;90 градуса

[Davids]

3. Зад.:

pravoug_tr.png (24.1 KiB) Прегледано 269 пъти

Първо ще използваме даденото отношение на лицата, като
[tex]S_{ALC} = S[/tex]; [tex]S_{ABC} = 3S[/tex]
Ще ползваме формулата за лице по две страни и синус на ъгъла между тях. Получаваме:
[tex]\begin{array}{|l} S = \frac{xb.sin3\beta}{2} \\ 3S = \frac{ab.sin3\beta}{2} \end{array}[/tex]
Като разделим почленно получаваме [tex]x = \frac{a}{3}[/tex]
Следователно [tex]CL = x; LB = 2x[/tex]
Използваме свойството на ъглополовящата:
[tex]\frac{AC}{AB} = \frac{b}{c} = \frac{CL}{LB} = \frac{1}{2}[/tex]
[tex]\Rightarrow c = 2b[/tex]

Сега от върха [tex]С[/tex] ще спуснем отсечка [tex]CK[/tex] така, че [tex]\angle KCB = \frac{1}{3}\angle ACB = \beta[/tex]
Получихме равнобедрен [tex]\Delta CKB[/tex]
Но [tex]\angle AKC[/tex] - външен за [tex]\Delta CKB \Rightarrow \angle AKC = 2\beta[/tex]
Но и [tex]\angle ACK = 2\beta[/tex]
[tex]\Rightarrow \Delta AKC[/tex] също е равнобедрен и [tex]AK = AC = b[/tex]. Следователно [tex]KB = 2b-b = b[/tex].
Но от равнобедреността на [tex]\Delta CKB \Rightarrow CK = KB = b[/tex]
[tex]\Rightarrow \Delta AKC[/tex] - равностранен и нататък вече всичко е ясно.
[tex]2\beta = 60; \beta = 30; <C = 90[/tex]

[Davids]

1. Зад.:

trapec_lice_a_alpha.png (28.38 KiB) Прегледано 268 пъти

До изразяването на обозначените ъгли съм стигнал чрез подобието на:
[tex]\Delta DCE \approx \Delta CAE \approx \Delta ABE[/tex] и изразяването на [tex]\beta = 90 - \alpha[/tex]
Аз лично подхождам така, една бърза синусова теорема за [tex]\Delta ACD[/tex]:
[tex]\frac{x}{sin\alpha} = \frac{d}{sin(90+\alpha) = cos\alpha} = \frac{a}{sin(90-2\alpha) = cos2\alpha}[/tex]
Откъдето изразяваме [tex]x, d[/tex] чрез [tex]a; \alpha[/tex]:
[tex]\Rightarrow x = \frac{asin\alpha}{cos2\alpha}[/tex]
[tex]\Rightarrow d = \frac{acos\alpha}{cos2\alpha}[/tex]

А от синусова теорема за [tex]\Delta ABC[/tex]:
[tex]\frac{y}{cos\alpha} = \frac{d}{sin\alpha} = \frac{acos\alpha}{sin\alpha.cos2\alpha}[/tex]
[tex]\Rightarrow y = \frac{acos^2\alpha}{sin\alpha.cos2\alpha}[/tex]

А за височината [tex]h[/tex] (CH, забравих да я начертая) лесно се вижда, че [tex]h = d.cos2\alpha = ... = acos\alpha[/tex]

Остана лицето:
[tex]S = (a+b).\frac{h}{2} = (\frac{asin\alpha}{cos2\alpha} + \frac{acos^2\alpha}{sin\alpha.cos2\alpha}).\frac{acos\alpha}{2}[/tex]
[tex]S = \frac{a(sin^2\alpha + cos^2\alpha)}{sin\alpha.cos2\alpha}.\frac{acos\alpha}{2} = \frac{a^2cos\alpha}{2sin\alpha.cos2\alpha}[/tex]
[tex]S = \frac{a^2cotg\alpha}{2cos2\alpha}[/tex]
Не знам защо, но отговорът ми е космически далеч от твоя. Или нещо бъркам (проверявах го 10 пъти, пробвах и по различни начини, но уви), или има друга грешка някъде. Или просто е нужен друг подход, за да се достигне дадения вид. Така или иначе реших да споделя, та да може някой да ме поправи малко или много/да сподели мнение.

[Milenaa]

Moже би има някоя формула