10 клас задачки

[Milenaa]

задача

[Nathi123]

При стандартните означения за [tex]\Delta\Rightarrow S_{ACM }=S_{BCM}=\frac{1}{2}S_{ABC}=\frac{1}{2}S \Delta AMC\Rightarrow b^{2}=\frac{c^{2}}{4}+CM^{2}-2Scotg\varphi[/tex]
[tex]\Rightarrow cotg\varphi = \frac{\frac{c^{2}}{4}+CM^{2}-b^{2}}{2S}[/tex] (1) [tex]\Delta BMC\Rightarrow cotg(180^\circ - \varphi) = \frac{\frac{c^{2}}{4}+CM^{2}-a^{2}}{2S}[/tex]
[tex]\Rightarrow-cotg\varphi = \frac{\frac{c^{2}}{4}+CM^{2}-a^{2}}{2S}[/tex] (2) От равенство (1) почленно изваждаме (2) [tex]\Rightarrow cotg\varphi = \frac{a^{2}-b^{2}}{4S}[/tex].
Аналогично за [tex]\Delta ABC\Rightarrow cotg\beta = \frac{c^{2}+a^{2}-b^{2}}{4S}[/tex] (3)
[tex]cotg\alpha = \frac{c^{2}+b^{2}-a^{2}}{4S}[/tex] (4) ; (3) - (4) [tex]\Rightarrow cotg\beta - cotg\alpha = \frac{a^{2}-b^{2}}{2S}[/tex] , което доказва твърдението.

[Milenaa]

БЛАГОДАРЯ!!!!