10 клас

[Milenaa]

Задачи ниво В

[Nathi123]

зад.23.61. Нека СМ = МD; [tex]BB_{1 }\bot AC ; BM\cap AC= P .\Rightarrow \frac{S_{BPC }}{S_{APB }}=\frac{CP.BB_{1 }}{AP.BB_{1 }}=\frac{PC}{AP};[/tex]
Построяваме МS||AC ; [tex]MS\cap AB=S_{1 }; S\in BC\Rightarrow MS=\frac{PC}{2}[/tex] ( MS-средна отс в триъг. СРВ) аналогично
[tex]MS_{1 }=\frac{AP}{2} ; \angle MS_{1 }D=\angle CAB=\alpha[/tex] (съответни за МS||AC пресечени с АС)
[tex]\Delta MS_{1 }D\Rightarrow \frac{MD}{S_{1 }D}=sin\alpha\Rightarrow MS_{1 }=\frac{MD}{sin\alpha}=\frac{CD}{2sin\alpha} ; \Delta CBD\Rightarrow \angle BCD=90^\circ - \beta ;[/tex]
[tex]\angle CMS = \angle S_{1 }MD=90^\circ - \alpha\Rightarrow \angle CSM=\alpha + \beta ;[/tex]
От син. т-ма за [tex]\Delta CSM\Rightarrow \frac{MS}{sin(90^\circ-\beta)}=\frac{CM}{sin(\alpha+\beta)}\Rightarrow MS=\frac{CMcos\beta}{sin(\alpha+\beta)}\Rightarrow MS=\frac{CDcos\beta}{2sin(\alpha+\beta)}\Rightarrow \frac{S_{PCB }}{S_{APD }}=\frac{MS}{MS_{1 }}[/tex] = [tex]=\frac{sin\alpha cos\beta}{sin(\alpha+\beta)} .[/tex]

[Nathi123]

зад23.62. Нека АВ = с м ВС = а; AM = MC ; (по условие) [tex]AK\bot BM \angle CAK=\angle KAB ; AK\cap BM = L. \Rightarrow AL[/tex] височина и ъглоп. за триъг. АВМ [tex]\Rightarrow AB = AM = MC = c ; \Rightarrow AC = 2c ; \angle ABC = 120^\circ .[/tex] ( по условие).
Нека S =[tex]S_{ABC } = \frac{acsin120^\circ}{2} = \frac{ac\sqrt{3}}{4} ;[/tex] лицето на описания около триъг. АВС кръг = [tex]S_{1 }=\pi R^{2} ;[/tex]
От син. т-ма за триъг. АВС[tex]\Rightarrow \frac{AC}{sin120^\circ} =2R\Rightarrow R=\frac{2c}{\sqrt{3}}\Rightarrow S_{1 }=\pi \frac{4c^{2}}{3} \Rightarrow \frac{S}{S_{1 }}=\frac{3\sqrt{3}a}{16\pi c}[/tex]
От кос. т-ма за триъг. АВС [tex]\Rightarrow 4c^{2} = a^{2} + c^{2} -2accos120^\circ \Rightarrow 3c^{2} = a^{2} +ac \Leftrightarrow a^{2} +ac- 3c^{2} =0|:c^{2}\ne 0[/tex]
[tex]\Rightarrow (\frac{a}{c})^{2}+\frac{a}{c}-3 =0 ; \frac{a}{c}>0\Rightarrow \frac{a}{c} = \frac{\sqrt{13}-1}{2}\Rightarrow \frac{S}{S_{1 }}=\frac{3\sqrt{3}(\sqrt{13}-1)}{32\pi}[/tex].

[Nathi123]

23.60.зад. Нека окръжността е к( О,R) ; MN = 2R ; AB || MN [tex]\Rightarrow AM = BN .[/tex] ( MNBA - трапец вписан в окръжност) . Построяваме PQ[tex]\bot MN; O\in PQ \Rightarrow PQ = 2R ; PQ\cap AB = L \Rightarrow AL = LB = x .[/tex] ( PQ e диаметър перпендикулярен на хорда ).Нека LO = y.
[tex]\Rightarrow AB =2x ; AB\cap PQ = L\Rightarrow PL.LQ = AL.LB \Leftrightarrow ( R - y )( R + y ) =x^{2}[/tex] [tex]\Leftrightarrow R^{2}=x^{2}+y^{2}[/tex] (1) .
[tex]\Delta ABC\Rightarrow \frac{AC}{AB}=cos\alpha\Rightarrow AC = 2xcos\alpha[/tex] ; аналогично ВС = 2[tex]xsin\alpha ; 2S_{ABC }=AC.BC = AB.LO[/tex] [tex]LO = h_{c }[/tex] за триъг. АВС ( разстоянието между усп. прави АВ и MN ). [tex]\Rightarrow 2x^{2}sin2\alpha =2xy\Rightarrow y = xsin2\alpha[/tex].
Заместваме в (1) [tex]\Rightarrow R^{2}=x^{2} + x^{2}sin^{2}2\alpha\Rightarrow x^{2} = \frac{R^{2}}{1+sin^{2}2\alpha}; S_{ABC }=x^{2}sin2\alpha\Rightarrow S_{ABC }=\frac{R^{2}sin2\alpha}{1+sin^{2}2\alpha}[/tex] .