триъгълник Търси се r,a,b,c=?

[wolfheulen]

[tex]\Delta[/tex]ABC ъгъл ACB=90°. т.О-център на вписаната окръжност. AO=2[tex]\sqrt{10}[/tex] BO=2[tex]\sqrt{5}[/tex] .Търси се r,a,b,c=?
по косинусова теорема намерих AB=10,оттам не ми хрумва нищо

[ganka simeonova]

Ползвай магията на допирателните отсечки

[Евва]

Нека впис. окр. се допира до страните AB ,BC ,AC съответно в точките H ,M и N .
[tex]\angle[/tex]AOB=180[tex]^\circ[/tex]-([tex]\frac{ \alpha }{2}[/tex]+[tex]\frac{ \beta }{2}[/tex])=180[tex]^\circ[/tex]-[tex]\frac{ \alpha+ \beta }{2}[/tex]=180[tex]^\circ[/tex]-[tex]\frac{90 ^\circ }{2}[/tex]=135[tex]^\circ[/tex]=90[tex]^\circ[/tex]+45[tex]^\circ[/tex]

([tex]\triangle[/tex]ABO -cos T) [tex]c^{2 }[/tex]=40+20-2.2[tex]\sqrt{10}[/tex].2[tex]\sqrt{5}[/tex]cos(90[tex]^\circ[/tex]+45[tex]^\circ[/tex])
... ...
c=10
([tex]\triangle[/tex]АНО-правоъг.) [tex](b-r)^{2 }[/tex]+[tex]r^{2 }[/tex]=40 [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]b^{2 }[/tex]-2br+2[tex]r^{2 }[/tex]=40 (1)
([tex]\triangle[/tex]НВО-правоъг.) [tex](a-r)^{2 }[/tex]+[tex]r^{2 }[/tex]=20 [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]a^{2 }[/tex]-2ar+2[tex]r^{2 }[/tex]=20 (2)

[ (1)+(2) ] [tex]a^{2 }+ b^{2}[/tex]-2r(a+b)+4[tex]r^{2 }[/tex]=60 [tex]\Rightarrow[/tex] 100-2r(a+b)+4[tex]r^{2 }[/tex]=60 (3)

AH+BH=AB и ползваме ,че OMCN е квадрат
AN+BM=10 ; b-r+a-r=10 ; a+b=2r+10 (4)
[ (4) в (3) ] 40-2r(2r+10)+4[tex]r^{2 }[/tex]=0
40-4[tex]r^{2 }[/tex]-20r+4[tex]r^{2 }[/tex]=0 [tex]\Rightarrow[/tex] r=2

([tex]\triangle[/tex]HBO-правоъг.) ([tex]a-2)^{2 }[/tex]+[tex]2^{2 }[/tex]=20 ;[tex](a-2)^{2 }[/tex]=[tex]4^{2 }[/tex] ;a-2=4 ;a=6

([tex]\triangle[/tex]ABC-правоъг.) [tex]6^{2 }[/tex]+[tex]b^{2 }[/tex]=[tex]10^{2 }[/tex] ; 36+[tex]b^{2 }[/tex]=100 ;b=8

r=2 ,a=6 ,b=8 ,c=10