Екстремална стереометрична задача

[Добромир Глухаров]

Измежду всички триъгълни пирамиди $ABCM$, вписани в сфера с радиус $R$, да се намерят тези, които имат възможно максимален обем. Какво свойство притежават? Да се намери и стойността на този максимален обем като функция на $R$.

Скрит текст: покажи

Може би трябва да са правилни с равни околни и основни ръбове и $V_{max}=\frac{8\sqrt{3}}{27}R^3$

[Knowledge Greedy]

Да разгледаме триъгълник със страни [tex]a, b[/tex] и [tex]c[/tex], описаната окръжност на който е с радиус [tex]u[/tex] - фиксиран. Знаем, че [tex]S=\frac{abc}{4u}[/tex]
Прилагаме за [tex]a, b[/tex] и [tex]c[/tex] неравенството CA - СГ (средно аритметично > средно геометрично).
[tex]\frac{1}{4u}abc\le \frac{1}{4u} \left (\frac{a+b+c}{3} \right )^3 \,\ \Leftrightarrow \,\ S \le \frac{p^3}{27u}[/tex]
Следователно [tex]S\le \frac{3\sqrt{^3}}{4}u^2[/tex], защото равенството (в CA - СГ) се достига само при [tex]a=b=c[/tex], т.е. за равностранен триъгълник.
Нека основата на пирамидата лежи в равнина, която е на разстояние [tex]x[/tex] от центъра. Тогава [tex]u^2=R^2-x^2[/tex].
Явно [tex]x\in [0;R)[/tex]. Разглеждаме само случая, когато центърът е между върха на пирамидата и равнината на основата. Пирамидата с най-голяма височина, при фиксираната основа с радиус [tex]u[/tex], ще бъде с височина [tex]h=R+x.[/tex]
[tex]V=\frac{1}{3}.\frac{3\sqrt{3}}{4}(R^2-x^2).(x+R)[/tex]
[tex]V'(x)=0 \,\ \Leftrightarrow \,\ -3x^2-2Rx+R^2=0[/tex]
Обемът е строго намаляваща функция на [tex]x[/tex], следователно [tex]V_{max}=V(0)=\frac{\sqrt{3}}{4}R^3[/tex] - на правилната пирамида с основен ръб [tex]a=R\sqrt{3}[/tex] и околен ръб [tex]l=R\sqrt{2}[/tex] .

[ptj]

Една забележка - периметъра на вписан триъгълник наистина е максимален когато въпросния триъгълник е равностранен, но този факт иска доказателство.

[Knowledge Greedy]

Благодаря на Davids, » Чет Яну 26, 2017 9:39 pm1, за одобрението на предишния ми пост, но в самия край съм допуснал грешка.
Производната [tex]−3x^2−2Rx+R^2>0 \,\ ⇔ \,\ 0<x< \frac{R}{3}[/tex], а в останалата част на дефиниционния интервал
[tex]\frac{R}{3}<x<R[/tex] производната [tex]−3x^2−2Rx+R^2<0[/tex]
Следователно функцията [tex]V(x)[/tex] е растяща в [tex]0<x< \frac{R}{3}[/tex] и намаляваща в [tex]\frac{R}{3}<x<R[/tex], т.е. [tex]V_{max}=V\left (\frac{R}{3} \right )=\frac{8\sqrt{3}}{27}R^3[/tex]
Тази правилна пирамида има основен ръб [tex]a=\frac{2\sqrt{6}}{3}R[/tex] и височина [tex]h=\frac{4R}{3}[/tex].

[Knowledge Greedy]

Една забележка - периметъра на вписан триъгълник наистина е максимален когато въпросния триъгълник е равностранен, но този факт иска доказателство.

ptj, аз изобщо не се интересувам от факта за максималността на периметъра, а от условието за достигане на максималната стойност - именно равенството на трите компоненти [tex]a=b=c[/tex]. Дори без тях изчислявам максималното лице, а чрез радиуса [tex]u[/tex] на описаната окръжност.

[ptj]

Не си ме разбрал: от неравенство между средните ограничаваш лицето като функция на периметъра. Той обаче не е константа...

[ptj]

Задачата може да се реши и на два реда:
При фиксирана равнина на основата, максимума на височината е когато 4-тия връх се проектира в центъра на описаната окръжност за основата (равенство на околните ръбове). Прилагаме този факт 3 пъти и получаваме, че всички ръбове са равни.

[Knowledge Greedy]

Не си ме разбрал: от неравенство между средните ограничаваш лицето като функция на периметъра. Той обаче не е константа...

Напротив, аз много добре те разбирам. Можех да напиша ограничението на лицето и като функция на ъглите... .Но ти отказваш да вникнеш в това, което ти пиша. Фиксирам радиуса на описаната окръжност - това е единственото, което ограничавам. На този фон

Задачата може да се реши и на два реда:
При фиксирана равнина на основата, максимума на височината е когато 4-тия връх се проектира в центъра на описаната окръжност за основата (равенство на околните ръбове). Прилагаме този факт 3 пъти и получаваме, че всички ръбове са равни.

все едно да се заяждам с теб, че това изобщо не може да бъде доказателство.

[ptj]

Не се заяждам, просто първата ти част има лек пропуск.

...
[tex]\frac{1}{4u}abc\le \frac{1}{4u} \left (\frac{a+b+c}{3} \right )^3 \,\ \Leftrightarrow \,\ S \le \frac{p^3}{27u}[/tex]
Следователно [tex]S\le \frac{3\sqrt{^3}}{4}u^2[/tex], защото равенството (в CA - СГ) се достига само при [tex]a=b=c[/tex].

Неравенството между средните не ти гарантира, че максимума на периметъра е точно при равностранен триъгълник.