Простичък трапец

[emil3993]

Лоша задача, непослушна

[Davids]

Изцяло тригонометричен подход, навярно излишно сложен
______________________
Пускаш височината $DH = 6$ и $AH = \frac{a-b}{2} = 8$. Питагорова теорема $\Rightarrow AD = 10$.
Оттам, ако $\angle DAB = \alpha$, то $sin\alpha = \frac{3}{5}; cos\alpha = \frac{4}{5}$.
Означаваме $\angle DAC = x$.
Тогава по синусова теорема (обща за $\Delta ABC$ и $\Delta ACD$, тъй като около тях е описана една окръжност):
$\frac{8}{sinx} = \frac{10}{sin(\alpha - x)}$
Развиваме $sin(\alpha - x) = \frac{3cosx - 4sinx}{5}$
Заместваме горе, получавайки опростено:
$\frac{sinx}{3cos - 4sinx} = \frac{4}{25}$
Умножавайки накръст:
$12cosx - 16sinx = 25sinx$
$12cosx = 41sinx$
$\Rightarrow tgx = \frac{12}{41}$

[Davids]

Друг, по-кратък вариант е да намерим диагонала на трапеца по питагорова теорема:
$AC = \sqrt{AE^2 + CE^2} = 2\sqrt{73}$
Синусова теорема за $\Delta ACD$:
$\frac{2\sqrt{73}}{sin(180-\alpha)} = \frac{8}{sinx} \Rightarrow sinx = \frac{12}{5\sqrt{73}}$
Оттам намираме после $cosx = \frac{41}{5\sqrt{73}}$
И тангенсът е ясен.

[emil3993]

Благодаря за идеите.

[S.B.]

Нека DH[tex]\bot[/tex]AB.DH=CE=6 Щом трапецът е равнoбедрен,тогава АH=(24-16):2,т.е. АH=4. От триъгълника AHD,правоъгълен (АH[tex]\bot[/tex]AB),следва
tg<DAH = DH/AH=[tex]\frac{6}{4}[/tex]=[tex]\frac{3}{2}[/tex] <DAH=<DAC [tex]\Rightarrow[/tex] tg<DAH=tg<DAC

[S.B.]

Равнобедрен трапец [tex]ABCD[/tex] с основи [tex]AB = 24, CD = 8 , CE\bot AB,CE = 6[/tex],Да се определи [tex]tg\angle DAC[/tex]
[tex]BE = \frac{AB - CD}{2} = \frac{24 - 8}{2} = 8 \Rightarrow AE = 16[/tex];Нека [tex]\angle DAB = \angle CBE = \alpha , \angle BAC = \beta \Rightarrow \angle DAC = \alpha - \beta[/tex] и [tex]tg\angle DAC = tg(\alpha - \beta)[/tex]
[tex]tg(\alpha - \beta) = \frac{tg\alpha - tg\beta}{1 + tg\alpha.tg\beta}[/tex]
От [tex]\triangle CBE : tg\alpha = \frac{CE}{BE} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}[/tex]
От [tex]\triangle CAE : tg\beta = \frac{CE}{AE} = \frac{6}{16} = \frac{3}{8}[/tex]
[tex]tg(\alpha - \beta) = \frac{tg\alpha - tg\beta}{1 + tg\alpha.tg\beta} = \frac{\frac{3}{4} + \frac{3}{8}}{1 - \frac{3}{4}.\frac{3}{8}} = \frac{\frac{9}{8}}{\frac{23}{32}} = \frac{36}{23}[/tex]

[S.B.]

[tex]tg(\alpha - \beta) = \frac{tg\alpha - tg\beta}{1 + tg\alpha.tg\beta} = \frac{\frac{3}{4} + \frac{3}{8}}{1 - \frac{3}{4}.\frac{3}{8}} = \frac{\frac{9}{8}}{\frac{23}{32}} = \frac{36}{23}[/tex]

Извинявам се !
[tex]tg(\alpha - tg\beta) = \frac{tg\alpha - tg\beta}{1 + tg\alpha.tg\beta} = \frac{\frac{3}{4} - \frac{3}{8}}{1 + \frac{3}{4}.\frac{3}{8}} = \frac{\frac{3}{8}}{\frac{41}{32}} = \frac{12}{41}[/tex]