Задача

[nelson88]

Здравейте, някой може ли да ми помогне с решението на следната задача: В остроъгълен триъгълник АВС(АВ>ВС) са построени височините АМ и СN. Точката О е център на описаната около триъгълника АВС окръжност. Дадени са ъгъл АВС=[tex]\beta[/tex] и лицето S на четириъгълника NBMO. А) Намерете дължината на страната АС и Б) ако [tex]\beta=60[/tex] градуса, докажете, че лицето на АВС <= 3S.
Благодаря предварително!

[S.B.]

Може би нещо пропускате в условието?За кой клас е задачата и къде може да се прочете условието?

[S.B.]

подточка А) : от [tex]\Delta[/tex]NBC : [tex]\frac{NB}{BC}[/tex] = cos[tex]\beta[/tex] [tex]\rightarrow[/tex] NB = CB.cos[tex]\beta[/tex]
От [tex]\Delta[/tex]MBA : [tex]\frac{MB}{AB}[/tex] = cos[tex]\beta[/tex] [tex]\rightarrow[/tex] MB = AB.cos[tex]\beta[/tex]
Следователно NB:MB = CB:AB и от това,че [tex]\angle[/tex]MBN = [tex]\angle[/tex]ABC следва подобието на триъгълниците ABC и MNB
От това подобие следва,че [tex]\angle[/tex]NMB = [tex]\angle[/tex]BAC и [tex]\angle[/tex]MNB = [tex]\angle[/tex]ACB
Нека t e допирателната към описаната окръжност в т. B и т.P[tex]\in[/tex]t, така,че периферният [tex]\angle[/tex]PBC се измерва с[tex]\frac{1}{2}[/tex] от дъгата BC - т.е. [tex]\angle[/tex]PBC = [tex]\angle[/tex]CAB
Но тогава [tex]\angle[/tex]PBC = [tex]\angle[/tex]NMB,с който са кръстни от което следва,че MN II t
а t, като допирателна в т.B е перпендикулярна на радиуса в т.B ,който е OB[tex]\Rightarrow[/tex] MN[tex]\bot[/tex] OB или MN[tex]\bot[/tex]R
Тогава за S на четр.ONBM получаваме: S= [tex]\frac{MN.R}{2}[/tex]
От подобието на [tex]\Delta[/tex]MNB и [tex]\Delta[/tex]ABC: [tex]\frac{AB}{MB}[/tex] = [tex]\frac{BC}{NB}[/tex] = [tex]\frac{AC}{MN}[/tex] = 1/cos[tex]\beta[/tex] следователно MN = AC.cos[tex]\beta[/tex], тогава
S =[tex]\frac{R.AC}{2}[/tex] . cos[tex]\beta[/tex] [tex]\rightarrow[/tex] R=2S:AC.cos[tex]\beta[/tex]
Прилагам Синусова теорема: AC:sin[tex]\beta[/tex] = 2R или AC= 2R.sin[tex]\beta[/tex]
AC = 4S.sin[tex]\beta[/tex] : AC.cos[tex]\beta[/tex] от където [tex]AC^{2}[/tex] = 4S.tg[tex]\beta[/tex]
или AC = 2.[tex]\sqrt{S.tg\beta}[/tex]

подточка Б):
От подобието на [tex]\Delta[/tex]ABC и [tex]\Delta[/tex]MNB имаме S[tex]\Delta[/tex]ABC : S[tex]\Delta[/tex]MNB = [tex]K^{2}[/tex]където
K=1/cos[tex]\beta[/tex] = 1/cos 60[tex]^\circ[/tex] = 2
S[tex]\Delta[/tex]ABC = 4.S[tex]\Delta[/tex]MNB,но S[tex]\Delta[/tex]MNB<S [tex]\Rightarrow[/tex] S[tex]\Delta[/tex]ABC< 4.S

[nelson88]

Много благодаря!