Трапец и отсечка

[quiet_riot]

Здравейте,
ето една задачка, която вече 3ти ден ме тормози ... Надявам се някой да помогне за решението й.

"В равнобедрен трапец с основи a и b, диагонала образува с голямата основа ъгъл ?. Да се намери дължината на отсечката съединяваща пресечната точка на диагоналите със средата на бедрото."

Благодаря предварително!

[ganka simeonova]

Само кажи кой клас си, за да знаем как да действаме.

[quiet_riot]

10ти

[ganka simeonova]

ОК

[mathinvalidnik]

Аз имам решение с косинусова теорема само и изразяване на медиана.това в кой клас се учи?

[mathinvalidnik]

отсечката я получавам [tex]\frac{1}{4.cos\alpha }.\sqrt{(a+b)^{2}-4ab.sin^{2}\alpha}[/tex]

[ganka simeonova]

Да, както каза матинвалидник.
Ще ти дам стъпки, защото не ми се разписва честно казано..
Нека О е пресечната точка на диагоналите, а Н е петата на височината през С.
Тогава от [tex]\Delta AHC=>\angle HAC=\alpha ;AH=\frac{a+b}{2 }[/tex] намираме от него [tex]CH; AC[/tex]
Тогава: [tex]AO=\frac{aAC}{a+b } ; DO=\frac{b}{a+b } AC[/tex]
От [tex]\Delta HBC[/tex] намираме бедрото.
Нека М е средата на AD. Тогава ОМ е медиана в AOD. Вече знаеш трите му страни и действаш с формулата за медиана.

[mathinvalidnik]

[tex]\frac{BO}{sin\alpha }=\frac{a}{sin(180-\alpha) }=\frac{BO}{sin\alpha }=\frac{a}{sin2\alpha } => BO=\frac{a.sin\alpha}{2sin\alpha.cos\alpha }=\frac{a}{2cos\alpha } <=> \fbox{BO=\frac{a}{2cos\alpha }}[/tex]

[tex]\frac{OC}{sin\alpha }=\frac{b}{sin(180-2\alpha) } = > \frac{OC}{sin\alpha }=\frac{b}{sin2\alpha } => \fbox{OC=\frac{b}{2cos\alpha }}[/tex]

[tex]AC=AO+OC=\frac{a}{2cos\alpha }+\frac{b}{2cos\alpha }=\frac{a+b}{2cos\alpha }[/tex]


ОТ [tex]\triangle ABC => BC^{2}=a^{2}+AC^{2}-2a.AC.cos\alpha=a^{2}+\frac{(a+b)^{2}}{4cos^{2}\alpha }-2.a.\frac{a+b}{2cos\alpha }.cos\alpha=a^{2}+\frac{(a+b)^{2}}{4cos^{2}\alpha }-a(a+b)[/tex]

...... [tex]= \frac{(a+b)^{2}-4.cos^{2}\alpha.a.b}{4cos^{2}\alpha } => \fbox{BC=\frac{\sqrt{(a+b)^{2}-4.cos^{2}\alpha.a.b}}{2cos\alpha }}[/tex]

Сега разглеждаме BOC ,където OM е медиана.= > [tex]OM=\frac{\sqrt{2.OB^{2}+2OC^{2}-BC^{2}}}{2 }[/tex]

сега не ми се пишат сметките ,затова ти си ги направи ако искаш да си провериш,но получавам [tex]\frac{1}{4.cos\alpha }.\sqrt{(a+b)^{2}-4ab.sin^{2}\alpha}[/tex]

п.п Нещо ако те интересува-питай!

[quiet_riot]

Страхотно! Благодаря Ви много!