Разстояние м/у центровете на вписани окръжности

[Мелис Исмаил]

Здравейте! Подобна задача беше качена, но разликата е, че между окръжностите имаше медиана, а сега е височина. Ще се радвам ако ми помогнете малко.
В правоъгълен триъгълник ABC е построена височина CD към хипотенузата AB. Да се намери разстоянието между центровете на окръжностите вписани в триъгълниците ACD и BCD, ако катетите са 3 и 4.

[Davids]

Намираме хипотенузата по Питагорова теорема $c = 5$.
Намираме радиусите на двете окръжности, като на лявата ще е $r_1$, а на дясната - $r_2$.
За тази цел намираме елементите от триъгълника по метричните зависимости:
$AD = \frac{16}{5}; DB = \frac{9}{5}; CD = h = \frac{12}{5}$
Сега по формулата $r = \frac{a+b-c}{2}$ за правоъгълен триъгълник намираме:
$r_1 = \frac{4}{5}; r_2 = \frac{3}{5}$
Спускаме радиусите, перпендикулярни на хипотенузата, примерно $O_1M = r_1$ и $O_2N = r_2$.
Получаваме правоъгълен трапец $MNO_2O_1$, за който имаме двете основи - радиусите, и едната страна, равна на сбора от тях (MN = r_1 + r_2 = \frac{7}{5})
От трапеца можем да намерим търсената четвърта страна (O_1O_2) по Питагорова теорема:
$x^2 = (\frac{4}{5} - \frac{3}{5})^2 + (\frac{7}{5})^2 = 2$
$\Rightarrow x = \sqrt{2}$

[S.B.]

Наистина след колегата DAVIDS е трудно,но приеми още едно мнение:Нека в [tex]\Delta[/tex]ACD е вписана окр. с център О1 и радиус r1,
а в [tex]\Delta[/tex]BCD - окр. с център О2 и радиус r2.O1D и O2D са ъглополовящи на правите ъгли при петата D на височината CD и тогава
[tex]\angle[/tex]O1DO2 = 90[tex]^\circ[/tex] и съответно триъгълникът O1DO2 е правоъгълен с хипотенуза О1О2 и катети О1D=r1[tex]\sqrt{2}[/tex] и
O2D=r2[tex]\sqrt{2}[/tex],понеже се явяват диагонали в квадрати със страни r1 и съответно r2.Радиусите можеш лесно да намериш ,а после търсеното разстояние,което се явява хипотенуза намираш по Питагор.Успех!