Задача без числа

[Мелис Исмаил]

Да се намери лицето на правоъгълен триъгълник, ако единият остър ъгъл е [tex]\alpha[/tex] и периметърът му е 2p.

[Davids]

Ползваме, че $S = pr$, сега ни интересува да изразим $r$ чрез функции на ъглите и $p$.
Ами в правоъгълния триъгълник важи $r.cotg\frac{\alpha}{2} + r.cotg\frac{\beta}{2} + r = p$.
Доказва се най-лесно с чертеж, като построиш трите радиуса, перпендикулярни на страните.
И понеже $\beta = 90 - \alpha$, оттам получаваме: $r = \frac{p(cotg\frac{\alpha}{2} - 1)}{cotg\frac{\alpha}{2}({cotg\frac{\alpha}{2} + 1)}}$
Окончателно:
$S = p^2.\frac{cotg\frac{\alpha}{2} - 1}{cotg\frac{\alpha}{2}({cotg\frac{\alpha}{2} + 1)}}$