Задача без числа 1

[Мелис Исмаил]

В правоъгълен триъгълник хипотенузата е c, а единият остър ъгъл е [tex]\alpha[/tex] . Да се намери радиусът на вписаната окръжност.

[Davids]

Ако $O$ е центърът на вписаната окръжност, спуснем $OA$, $OB$ и $OP \bot AB = r$, то $OA = r.cos\frac{\alpha}{2}$ и $OB = r.cos\frac{\beta}{2}$
Ще направим две еквивалентни формули за лице на $\Delta ABO$:
$S = \frac{c.r}{2} = \frac{r.cos\frac{\alpha}{2}.r.cos\frac{\beta}{2}.sin135}{2}$
$c = r.cos\frac{\alpha}{2}.cos(45 - \frac{\alpha}{2}).\frac{1}{\sqrt{2}}$
$\Rightarrow r = \frac{\sqrt{2}c}{cos\frac{\alpha}{2}cos(45 - \frac{\alpha}{2})} = \frac{2c}{cos\frac{\alpha}{2}(cos\frac{\alpha}{2} + sin\frac{\alpha}{2})} = \frac{4c}{1 + cos\alpha + sin\alpha}$