Полуокръжност, вписана в правоъгълен триъгълник

[Мелис Исмаил]

Здравейте!
В правоъгълен триъгълник е вписана полуокръжност, така че диаметърът й лежи на хипотенузата, а центърът й дели хипотенузата на отсечки 15 и 29. Намерете радиуса на полуокръжността.
Ще се радвам, ако ми помогнете.

[Davids]

Получавам ужасни сметки, не знам за реалния отговор, но подозирам неточност в дадените параметри.
Ще го карам директно:
Центърът на окръжността ще е $O \in AB$, следователно имаме $AO = 29; BO = 15$. Окръжността ще допира катетите в точките $M \in AC; N \in BC$.
Понеже $MONC$ е квадрат със страна - търсения радиус $r$, то $CO = \sqrt{2}r$ е ъглополовяща за правоъгълния триъгълник.
Оттам имаме $2r^2 = ab - 15.29$.
От подобията на двойките малки триъгълници $AOM$ и $OBN$ с големия имаме двете отношения $a = \frac{44}{29}r$ и $b = \frac{44}{15}r$.
Заместваме горе и даваме газ на сметките:
$2r^2 = \frac{44^2}{29.15}r^2 - 15.29$
$2r^2.29.15 = 44^2.r^2 - 15.29.29.15$
$r^2(44^2 - 30.29) = (15.29)^2$
$r = \frac{15.29}{\sqrt{44^2 - 30.29}} = \frac{15.29}{\sqrt{1066}} \approx 13,3232646473 $

[Anubis]

Davids, може и много по-лесно. Ако [tex]AO=15[/tex] и [tex]BO=29[/tex], то от свойството на ъглополовящата

[tex]AC=15x, \, BC=29x \Rightarrow x=2\sqrt{\frac{2}{533}}[/tex]. Тогава [tex]\sin\alpha=\frac{BC}{AB}=\frac{29}{\sqrt{1066}}[/tex].

Построяваме [tex]OH \bot AC, \, H \in AC \Rightarrow \sin\alpha = \frac{OH}{AO}=\frac{r}{AO} \Rightarrow r=AO\sin\alpha=\frac{435}{\sqrt{1066}}[/tex].

[Anubis]

По-общо, нека [tex]AO=m, \, BO=n[/tex]. Тогава

[tex]\frac{CA}{CB}=\frac{m}{n} \Rightarrow (mx)^2+(nx)^2=(m+n)^2 \, \Rightarrow x^2 = \frac{(m+n)^2}{m^2+n^2} \Rightarrow x = \frac{m+n}{\sqrt{m^2+n^2}}[/tex].

[tex]\sin\alpha = \frac{nx}{m+n} = \frac{n}{m+n} \cdot \frac{m+n}{\sqrt{m^2+n^2}} = \frac{n}{\sqrt{m^2+n^2}}[/tex]

Пресмятаме от [tex]\Delta AOH[/tex] [tex]\sin\alpha=\frac{r}{m} \Rightarrow r = m\sin\alpha = \frac{mn}{\sqrt{m^2+n^2}}[/tex] (при нас [tex]m=15,
\, n=29[/tex]).

[Мелис Исмаил]

Оле, ужасно съжалявам. Допуснала съм грешка при преписване на условието. Отсечките, на които хипотенузата е разделена са 15 и 20. Наистина се извинявам, че се мъчихте с тези стойности, които се получаваха.

[Davids]

Оле, ужасно съжалявам. Допуснала съм грешка при преписване на условието. Отсечките, на които хипотенузата е разделена са 15 и 20. Наистина се извинявам, че се мъчихте с тези стойности, които се получаваха.

Ами, имаш три начина за решаване - ти си!

[S.B.]

Нека да добавя още един начин за по-голям избор:Нека О е центъра на окръжността,а OM и ON радиусите в допирните точки към AC и BC.Нека бележим [tex]\angle[/tex]BAC = [tex]\alpha[/tex] Тогава и [tex]\angle[/tex]BOM=[tex]\alpha[/tex];
[tex]\Delta[/tex]OAN е правоъгълен.[tex]\frac{ON}{AO}[/tex]= sin[tex]\alpha[/tex],или R=20.sin[tex]\alpha[/tex]
[tex]\Delta[/tex]BOM e правоъгълен и [tex]\frac{OM}{OB}[/tex] = cos[tex]\alpha[/tex] или R=15.cos[tex]\alpha[/tex],
т.е. 20.sin[tex]\alpha[/tex] = 15.cos[tex]\alpha[/tex],или sin[tex]\alpha[/tex]=[tex]\frac{3}{4}[/tex].cos[tex]\alpha[/tex].След като заместим в основното тригонометрично равенство:
[tex]sin^{2}[/tex][tex]\alpha[/tex] + [tex]cos^{2}[/tex][tex]\alpha[/tex] = 1 получаваме cos[tex]\alpha[/tex]=[tex]\frac{4}{5}[/tex],
но R=15.cos[tex]\alpha[/tex], следователно R=15.[tex]\frac{4}{5}[/tex]=12
R= 12