Правоъгълен триъгълник 1

[Мелис Исмаил]

В правоъгълен триъгълник медианата към хипотенузата е 10, а височината към хипотенузата е 5. Намерете радиуса на вписаната окръжност.

Така, медианата съм я означила CM, а височината CH. От триъгълник HMC по Питагорова теорема намирам HM => AH е 10-HM.
После разглеждам триъгълник AHC и намирам AC по Питагорова теорема.
Разглеждам триъгълник ABC и намирам BC пак по Питагорова теорема.
После от формулата за радиус на вписана окръжност в правоъгълен триъгълник тръгвам да търся r=(a+b-c):2....и до никъде не стигам, защото се получават ужасни числа...сигурно я решавам по най-дългия начин

[Davids]

Ами всъщност да, доста си се усложнила. Ползваме на първа линия, че медианата към хипотенузата винаги е равна на половината от нея, следователно $c = 20$.
Оттам вече означаваме $AH = b'; BH = a'$ и ползваме, че $h^2 = a'b'$. Тъй като $b' = 20 - a'$, съставяме уравнението:
$25 = a'(20 - a')$
$a' = 10 \pm 5\sqrt{3} \Rightarrow b' = 10 \mp 5\sqrt{3}$
Имаме вече двете части, сега с две Питагорови теореми намираме катетите:
$a^2 = 5^2 + (10-5\sqrt{3})^2 = 25 + 100 - 100\sqrt{3} + 75 = 50(4 - 2\sqrt{3}) = 50(\sqrt{3} - 1)^2 \Rightarrow a = 5\sqrt{2}(\sqrt{3} - 1)$
$b^2 = 5^2 + (10+5\sqrt{3})^2 = .... = 5\sqrt{2}(\sqrt{3} + 1)$
Радиусът остава: $r = \frac{a + b - c}{2} = \frac{5\sqrt{2}(\sqrt{3} + 1 + \sqrt{3} - 1) - 20}{2} = ... = 5(\sqrt{6} - 2)$