Правоъгълен триъгълник 2

[Мелис Исмаил]

В правоъгълен триъгълник хипотенузата е 25, а височината към хипотенузата е 12 и служи за диаметър на окръжност, която дели всеки катет на две отсечки. Намерете дължините им.

[Davids]

Височината е $CH$.
Ползваме метричната зависимост, че $h^2 = AH.BH$
$144 = xy = x(25-x)$
$x = 9; y = 16$ или vice versa, няма значение.
Оттам вече намираме с две Питагорови теореми бедрата: $a = 15; b = 20$
Точките, в които окръжността пресича катетите, всъщност са височините от точка H към катетите.
Следователно трябва да ги намерим, а после да намерим частите, на които разделят катетите.
Означаваме $H \bot AC = M; H \bot BC = N$
$HM = \frac{HC.HA}{AC} = \frac{12.16}{20} = \frac{48}{5}$
$HN = \frac{HC.HB}{BC} = \frac{12.9}{15} = \frac{36}{5}$.
Сега ползваме, че $MHNC$ е правоъгълник, откъдето $MC = HN = \frac{36}{5}$, оттам $AM = AC - MC = \frac{64}{5}$
Аналогично $CN = HM = \frac{48}{5}$, оттам $BN = BC - NC = \frac{27}{5}$