Правоъгълен триъгълник 3

[Мелис Исмаил]

Радиусът на вписаната в правоъгълен триъгълник окръжност е 5, а радиусът на външновписаната окръжност, която се допира до хипотенузата е 42. Намерете страните на триъгълника.

[Nathi123]

Нека k(O,r=5) - вписаната ва правоъг. триъг. АВС окр.; [tex]k_{1 }(O_{1 },r_{1 }=42)[/tex]-външно вписаната и допираща се до хипот. AB окр.
Нека [tex]k_{1 }\cap AC = T ; k_{1 }\cap BC = Q \Rightarrow \angle ACO_{1 }=\angle O_{1 }CB=45^\circ ; CT=CQ; O_{1 }T\bot AC[/tex]
[tex]\Rightarrow \angle CO_{1 }T=45^\circ \Rightarrow CT=r_{1 }.[/tex]
Лесно се доказва,че [tex]CT=CQ=\frac{a+b+c}{2}=p\Rightarrow \begin{array}{|l} 2.5=a+b-c \\ 2.42 = a + b + c \\ a^{2}+b^{2} = c^{2} \end{array}[/tex].
Решенията на системата са а = 12,b = 35 ; c=37.