Задачи

[Milenaa]

Може ли помощ?

[KOPMOPAH]

Ако върховете на триъгълника са $A$, $B$ и $C$, петите на височините съответно $A_1$, $B_1$ и $C_1$, а ортоцентърът - $H$.

триъгълник с височини.png (7.8 KiB) Прегледано 236 пъти

Разглеждаме подобните правоъгълни триъгълници $\triangle AC_1H$ и $\triangle AA_1B$ и получаваме съотношението

$AC_1:AH=AA_1:AB$, следователно $$AC_1.AB=AH.AA_1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1)$$ Сега разглеждаме подобните правоъгълни триъгълници

$\triangle AB_1H$ и $\triangle AA_1C$ и от тях получаваме съотношението $AB_1:AH=AA_1:AC$, следователно $$AB_1.AC=AH.AA_1\ \

\ \ \ \ \ \ \ \ (2)$$
Продължаваме да търсим и намираме подобни триъгълници и стигаме до съотношенията
$$BC_1.AB=BH.BB_1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (3)$$
$$BA_1.BC=BH.BB_1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (4)$$
$$CB_1.AC=CH.CC_1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (5)$$
$$CA_1.BC=CH.CC_1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (6)$$
Събираме почленно равенствата от $(1)$ до $(6)$ и получаваме
$AC_1.AB+AB_1.AC+BC_1.AB+BA_1.BC+CB_1.AC+CA_1.BC=2(AH.AA_1+BH.BB_1+CH.CC_1)$

$AC_1.AB+BC_1.AB+AB_1.AC+CB_1.AC+BA_1.BC+CA_1.BC=2(AH.AA_1+BH.BB_1+CH.CC_1)$

$(AC_1B+BC_1).AB+(AB_1+CB_1).AC+(BA_1+CA_1).BC=2(AH.AA_1+BH.BB_1+CH.CC_1)$

$\frac{AB^2+AC^2+BC^2}2=AH.AA_1+BH.BB_1+CH.CC_1$