Докажете,че:

[Milenaa]

1зад. Вътрешната ъглополовяща на ъгъла при върха А на триъг. АВС пресичат страната [BC] и описаната около триъгълника окръжност съответно в точките D и E. Докажете, че |АЕ|.|АD|=|AB|.|AC|

2зад. На страните СА и СВ на равнобедрен триъг.АВС (|СА|=|СВ|) са взети точки P и Q такива, че |CP|=|BQ|. Докажете, че геометричното място на средите на отсечките [PQ] е средната отсечка на триъг. , когато P и Q са подвижни.

3 зад. Вътрешните ъглополовящи AD и CE на триъгълник АВС се пресичат в точка О.Точките B,D,E,O лежат на една окръжност.Докажете че [tex]\angle[/tex] АВС=60[tex]^\circ[/tex] и че триъгълник ЕDO e равнобедрен.

[Nathi123]

1.зад. [tex]AE.AD=AB.AC\Leftrightarrow \frac{AE}{AC}=\frac{AB}{AD};[/tex]
От [tex]\Delta ABE[/tex] и [tex]\Delta ACD[/tex]
[tex]\angle CAE=BAE = \frac{\alpha}{2}[/tex] ( AE - ъглоп. на [tex]\angle CAB = \alpha )[/tex].
[tex]\angle ACB = BEA=\gamma = \frac{дъг. AB}{2} \Rightarrow \Delta ABE \approx \Delta ACD\Rightarrow \frac{AE}{AC} = \frac{AB}{AD} \Rightarrow AE.AD=AB.AC[/tex].

[Nathi123]

3.зад. [tex]\angle ACO=\angle BCO=\frac{\gamma}{2} ; \angle CAO=\angle OAB=\frac{\alpha}{2}\Rightarrow \angle ABO=\angle CBO=\frac{\beta}{2}[/tex] (Трите ъглоп в триъгълник се пресичат в една точка -в случая точка О).
[tex]\Delta ACO\Rightarrow \angle AOC = 180^\circ - \frac{\alpha+\gamma}{2}; \Delta ABC\Rightarrow \frac{\alpha+\gamma}{2}=90-\frac{\beta}{2}\Rightarrow \angle AOC=90^\circ +\frac{\beta}{2}[/tex].
[tex]\angle AOC=\angle DOE =90^\circ +\frac{\beta}{2}[/tex] (противоположни ъгли). Нека окр. к е описана около четириъг. BDOE.
[tex]\Rightarrow \angle EOD+\angle DBE=180^\circ\Rightarrow \angle DOE=180^\circ -\beta\Rightarrow 90^\circ +\frac{\beta}{2} = 180^\circ -\beta\Leftrightarrow \beta =60^\circ[/tex]
[tex]\Rightarrow OBD=\frac{\beta}{2}=\angle OBE = 30^\circ ; \angle ODE=\frac{д.OE}{2}=\angle OBE=30^\circ[/tex] ( вписан в к ) . Аналогично
[tex]\angle OED=\frac{д. OD}{2}=30^\circ\Rightarrow[/tex] Дъгите от окръжността к OD и OE са равни [tex]\Rightarrow[/tex] хордите им OD и OE също са равни т.е.
OD = OE .