задача с окръжност

[Мелис Исмаил]

Привет!
В окръжност с радиус 2 е построена хорда АB, така че сборът на разстоянията от B до допирателната през А и от B да А е 3. Намерете АB.

[ева]

построяваме К(О;ч=2),АВ-хорда,d-допирателна към К в т. А,ВН[tex]\bot[/tex]d като т.Н[tex]\in[/tex]d,т.Р-среда на АВ.
ч=2;ВН+АВ=3
АВ=?
[tex]\angle[/tex]ВАН(периферен)=[tex]\frac{дъгатаАВ}{2}[/tex] (1)
нека [tex]\angle[/tex]ВАН=[tex]\alpha[/tex]
[tex]\angle[/tex]АОВ(централен)=дъгата АВ[tex]\Rightarrow[/tex][tex]\angle[/tex]АОР=[tex]\frac{дъгата АВ}{2}[/tex](2)
от (1) и (2) [tex]\Rightarrow[/tex][tex]\angle[/tex]АОР=[tex]\angle[/tex]ВАН=[tex]\alpha[/tex] (3)
разглеждаме [tex]\triangle[/tex]АНВ и [tex]\triangle[/tex]ОРА
1.[tex]\angle[/tex]ВАН=[tex]\angle[/tex]АОР от(3)
2.[tex]\angle[/tex]АНВ=[tex]\angle[/tex]АРО=90[tex]^\circ[/tex][tex]\Rightarrow[/tex]
[tex]\triangle[/tex]АНВ е подобен на [tex]\triangle[/tex]ОРА (1 признак)[tex]\Rightarrow[/tex]
[tex]\frac{ВН}{АР}[/tex]=[tex]\frac{АВ}{ОА}[/tex]
[tex]\frac{3-АВ}{АВ/2}[/tex]=[tex]\frac{АВ}{2}[/tex] ...
... [tex]АВ^{2}[/tex]+4АВ-12=0
D=16+48=64
АВ1,2=[tex]\frac{-4\pm8}{2}[/tex]
АВ1=2 или АВ2=-6 но АВ2[tex]\angle[/tex]0[tex]\Rightarrow[/tex] отпада
отг.2