Лице на триъгълник

[milen]

Здравейте, затруднявам се при решаването на тези две задачи. Много ще съм благодарен, ако ми помогнете!
1. Лицето на триъгълник е 84см , най-малката страна е 13см, а радиусът на описаната окръжност е 8,125см. Да се намерят неизвестните страни на триъгълника. отг. 14 и 15см
идеята ми беше следната: най-малката страна в случая е а. След като намеря син алфа [tex]\frac{4}{5}[/tex] с формулата за лице намирам бс=210. Не знам колко е редно, но използвах а=с-б, а от друга страна с= [tex]\frac{210}{б}[/tex], заместих го във формулата за R, но не успях да получа отговора...
2. Най-малката страна на триъгълника е 25см, а разликата на другите две е 11. Да се намери лицето на триъгълника, ако радиусът на описаната окръжност е 32,5см. отг. 630см

[ева]

2 зад. Нека с=25 см.,а другите страни са:b,b+11.
(sin T) [tex]\frac{c}{sin\gamma}[/tex]=2R т.е. [tex]\frac{25}{sin\gamma}[/tex]=2.32,5 [tex]\Rightarrow[/tex] sin[tex]\gamma[/tex]=[tex]\frac{5}{13}[/tex]
лесно намираме cos[tex]\gamma[/tex]=[tex]\frac{12}{13}[/tex] и ползваме cos T
[tex]25^{2}[/tex]=[tex]b^{2}[/tex]+[tex](b+11)^{2}[/tex]-2b(b+11)cos[tex]\gamma[/tex]
625=[tex]b^{2}[/tex]+[tex]b^{2}[/tex]+22b+121-(2[tex]b^{2}[/tex]+22b).[tex]\frac{12}{13}[/tex] ...

[tex]b^{2}[/tex]+11b-3 276=0 ( D=[tex]115^{2}[/tex])

[tex]b_{1,2 }[/tex]=[tex]\frac{-11\pm115}{2}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]b_{1 }[/tex]=52 см.; [tex]b_{2 }[/tex]<0
а=b+11=52+11=63 см.

S=[tex]\frac{ab.sin\gamma}{2}[/tex]=[tex]\frac{63.52.5}{2.13}[/tex]=630 [tex]см^{2}[/tex]

[S.B.]

Зад.1. До тук добре - получил си sin[tex]\alpha[/tex] = [tex]\frac{4}{5}[/tex], a следователно cos[tex]\alpha[/tex] = [tex]\frac{3}{5}[/tex]
Прилагаш косинусова теорема: [tex]а^{2}[/tex] = [tex]b^{2}[/tex] + [tex]c^{2}[/tex] - 2.b.c.cos[tex]\alpha[/tex] или [tex]13^{2}[/tex] = [tex]b^{2}[/tex] + [tex]c^{2}[/tex] - 2.b.c.[tex]\frac{3}{5}[/tex];
От формулата за лицето:S = [tex]\frac{b.c}{2}[/tex]sin[tex]\alpha[/tex] получаваш 84 = [tex]\frac{b.c}{2}[/tex].[tex]\frac{4}{5}[/tex] от където b.c = 210;
[tex]\begin{array}{|l}13^{2} = b^{2} + c^{2} - 2.b.c.\frac{3}{5}\\ b.c= 210 \end{array}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex][tex]\begin{array}{|l}169 = b^{2} + c^{2} -252\\ b.c = 210 \end{array}[/tex][tex]\Rightarrow[/tex][tex]\begin{array}{|l} b^{2} + c^{2} = 421 \\ b.c =21 0 \end{array}[/tex][tex]\Rightarrow[/tex][tex]\begin{array}{|l} (b + c)^{2} - 2.b.c = 421 \\ b.c=210 \end{array}[/tex][tex]\Rightarrow[/tex]
[tex]\begin{array}{|l}(b + c)^{2} = 841 \\ b.c=210 \end{array}[/tex][tex]\Rightarrow[/tex][tex]\begin{array}{|l} b + c = 29 \\ b.c =210 \end{array}[/tex] от където лесно получаваш за b и c две двойки решения : (14,15) и (15,14)

[milen]

Много ви благодаря и на двамата! Само не успях да разбера (може би това е и причината да не мога да ги реша) как след като сме намерили стойността за син можем да намерим кос?

[S.B.]

От основното тригонометрично равенство : [tex]sin^{2}[/tex]x + [tex]cos^{2}[/tex]x =1; щом sinx = [tex]\frac{4}{5}[/tex] ( или sin[tex]\alpha[/tex] ,както е при теб)
то тогава [tex](\frac{4}{5})^{2}[/tex] + [tex]cos^{2}[/tex]x = 1 [tex]\Rightarrow[/tex][tex]cos^{2}[/tex]x = 1 - [tex](\frac{4}{5})^{2}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]cos^{2}[/tex]x = [tex]\frac{9}{25}[/tex] и cosx=[tex]\sqrt{\frac{9}{25}}[/tex] = [tex]\frac{3}{5}[/tex]
По същия начин се постъпва,когато знаеш cosx и търсиш sinx
Aко знаеш tgx, например tgx=[tex]\sqrt{2}[/tex] тогава се съставя следната система: [tex]\begin{array}{|l} \frac{sinx}{cosx} = \sqrt{2} \\ sin^{2}x + cos^{2}x = 1 \end{array}[/tex][tex]\Rightarrow[/tex][tex]\begin{array}{|l} sinx =\sqrt{2} cosx \\ sin^{2}x + cos^{2}x = 1\end{array}[/tex]
Заместваш sinx от първото във второто уравнение и т.н.Ако знаеш cotgx - постъпваш по същия начин.

[milen]

Ясно, схванах. Благодаря!