Намерете отношението.

[123a]

На страните $AC$ и $BC$ на [tex]\triangle[/tex]$ABC$ са взети съответно точките $M$ и $N$ така, че $\frac{CM}{AC}=m$ и $\frac{CN}{BC}=n$. Медианата $CD$ пресича $MN$ в т.$E$. Намерете отношението $\frac{ME}{EN}$.

[Knowledge Greedy]

Ще решим задачата с отношения на лица. В този смисъл изглежда, че е достъпна и за осмокласници.

Отношение.png (7.3 KiB) Прегледано 337 пъти

Да означим [tex]\frac{CE}{CD}=x[/tex]
Да означим още [tex]S_{\triangle ADC} =S[/tex]
Явно също [tex]S_{\triangle BDC} =S[/tex]

Но [tex]S_{\triangle MEC} =mx S[/tex]
Също така [tex]S_{\triangle NEC} =nxS[/tex]

Образувайки отношението на двете лица, получаваме [tex]\frac{S_{\triangle MEC} }{S_{\triangle NEC} }=\frac{m \cancel{x S}}{n\cancel{x S}}[/tex]
Дотук [tex]\frac{S_{\triangle MEC} }{S_{\triangle NEC} }=\frac{m}{n} \,\ {(\ast)}[/tex]

В същото време височината [tex]CQ[/tex] на триъгълника [tex]\triangle MNC[/tex] към страната [tex]MN[/tex] се явява обща височина за триъгълниците [tex]\triangle MEC[/tex] и [tex]\triangle NEC[/tex].
[tex]\frac{S_{\triangle MEC} }{S_{\triangle NEC} }=\frac{\frac{1}{2} ME.CQ}{\frac{1}{2} NE.CQ} \,\ {(\ast \ast)}[/tex]
След съкращаване и сравняване на [tex]{(\ast)}[/tex] и [tex]{(\ast \ast)}[/tex], намираме [tex]ME:NE=m:n[/tex]

[123a]

Eто решение и по метода на успоредното проектиране

.

Нека проектираме [tex]\triangle[/tex]$ABC$ в равностранен триъгълник $A_1B_1C_1$. Тогава точките $M,N, E$ се проектират в точките $M_1, N_1,E_1$ така че $\frac{C_1M_1}{A_1C_1}=\frac{CM}{AC}=m$ и $\frac{C_1N_1}{B_1C_1}=\frac{CN}{BC}=n$ и $\frac{M_1E_1}{E_1N_1}=\frac{ME}{EN}$ а медианата $CD$ се проектира в медианата $C_1D_1$ която в $\triangle$$A_1B_1C_1$ се явява и ъглополовяща. Тогава от свойството на ъглополовящата имаме $\frac{M_1E_1}{E_1N_1}=\frac{C_1M_1}{C_1N_1}=\frac{m.A_1C_1}{n.C_1B_1}=\frac{m}{n}$