Произволна точка в триъгълник

[123a]

Във вътрешността на [tex]\triangle[/tex]$ABC$ е взета произволна точка $M$. През тази точка са построени правите $EF,PQ, KN$, такива че $EF||AB, PQ||BC,KN||AC$. Точките $K$ и $P$, $F$ и $N$, $Q$ и $E$ лежат съответно на страните $AB,BC,AC$. Докажете, че
$\frac{EF}{AB}+\frac{PQ}{BC}+\frac{KN}{AC}=2$

[Nathi123]

EF||AB[tex]\Rightarrow \frac{EF}{AB}=\frac{CE}{CA}=\frac{CF}{CB}[/tex] ( т-ма на Талес ) Аналогично [tex]\frac{PQ}{BC}=\frac{AQ}{AC}=\frac{AP}{AB}[/tex]
[tex]\frac{KN}{AC}=\frac{BN}{BC}=\frac{BK}{AB}\Rightarrow D= \frac{EF}{AB}+\frac{PQ}{BC}+\frac{KN}{AC}=\frac{EF}{AB}+\frac{AP}{AB}+\frac{BK}{AB}[/tex]
От AKME-успоредник [tex]\Rightarrow EM=AK ;[/tex] MFBP- успоредник [tex]\Rightarrow MF = PB \Rightarrow EF= EM + MF = AK + BP ; AB= AK + PB + KP[/tex] .
Също AP = AK + KP ; BK = BP + KP [tex]\Rightarrow D = \frac{AK + PB + AK + KP + BP + KP}{AB }= \frac{2( AK+KP+PB ) }{AB} = 2[/tex].