Задача за намиране на лица

[green1672]

В триъгълника ABC точките M N P са точки от страните AB BC и CA съответно като четириъгълника CPMN е успоредник. Ако , AN[tex]\cap[/tex]MP= R, BP[tex]\cap[/tex]MN =S и AN[tex]\cap[/tex]BP =Q, докажете, че SMRQS= SNQP.

Може ли някой да даде идея?

[Гост]

PN е средна отсечка ..... Идея

[S.B.]

PN е средна отсечка ..... Идея

Щеше да е идея,ако т.Р беше среда на АС и РN II AB...но уви! За точкa P нищо не е казано освен,че [tex]\in[/tex]АС и че CPMN е успоредник т.е. PM II BC и MN II AC.....

[123a]

$PMBC$- трапец, ясно защо и $MC, BP$- диагонали.

От обратната теорема на Шайнер, ( теоремата на Щайнер гласи,че в трапец продълженията на бедрата, средите на двете основи и пресечната точка на диагоналите лежат на една права) следва че $NR$ е медиана в [tex]\triangle[/tex]$PMN$.

Прилагайки обратната теорема на Щайнер и за трапеца $AMNC$, следва че $PS$ също е медиана в [tex]\triangle[/tex]$PMN$. От тук пък следва, че $Q$ e медицентър в [tex]\triangle[/tex]$PMN$

$S_{NPQ}=\frac{1}{3}.S_{MNP}(1)$- свойството на медицентър.

$S_{QRM}+S_{QMS}$$=S_{QRMS}=>\frac{1}{6}S_{PMN}+ \frac{1}{6}S_{PMN}=S_{QRMS}=>S_{QRMS}=\frac{1}{3}.S_{MNP}(2)$

От $(1)$ и $(2)$ следва, че $S_{NPQ}=S_{QRMS}$

[Гост]

NR среда на PM ??? Може но не е задължително .....

[inveidar]

$PMBC$- трапец, ясно защо и $MC, BP$- диагонали.

От обратната теорема на Шайнер, ( теоремата на Щайнер гласи,че в трапец продълженията на бедрата, средите на двете основи и пресечната точка на диагоналите лежат на една права) следва че $NR$ е медиана в [tex]\triangle[/tex]$PMN$.

Прилагайки обратната теорема на Щайнер и за трапеца $AMNC$, следва че $PS$ също е медиана в [tex]\triangle[/tex]$PMN$. От тук пък следва, че $Q$ e медицентър в [tex]\triangle[/tex]$PMN$

$S_{NPQ}=\frac{1}{3}.S_{MNP}(1)$- свойството на медицентър.

$S_{QRM}+S_{QMS}$$=S_{QRMS}=>\frac{1}{6}S_{PMN}+ \frac{1}{6}S_{PMN}=S_{QRMS}=>S_{QRMS}=\frac{1}{3}.S_{MNP}(2)$

От $(1)$ и $(2)$ следва, че $S_{NPQ}=S_{QRMS}$

Грешно!

[inveidar]

mmmm.png (32.49 KiB) Прегледано 825 пъти

[green1672]

Благодаря!