Задача за отсечки

[titi0021]

Моля, ако някой може, нека помогне:

Отсечките AB и CD имат дължина 1 и се пресичат в Т.О, като ъгъл AOC е 60[tex]^\circ[/tex]. Докажете, че AC+BD[tex]\ge[/tex]1.

[ptj]

Алгебричен метод:
Нека едната отсечка се разделя от пресечената им точка на части [tex]a,b[/tex], a другата на [tex]c,d[/tex].

[tex]a+b=1[/tex]
[tex]c+d=1[/tex]

2 косинусови теореми:

[tex]AC^2=a^2+c^2-2.\frac{1}{2}ac[/tex]

[tex]BD^2=b^2+d^2-2.\frac{1}{2}bd[/tex]

Трябва да докажем:

[tex]\sqrt{a^2+c^2-ac}+\sqrt{b^2+d^2-bd}\ge1 \Leftrightarrow[/tex]

[tex]\Leftrightarrow \sqrt{a^2+c^2-ac}+\sqrt{(1-a)^2+(1-c)^2-(1-a)(1-c)}\ge1[/tex]

Задачата е вярна тогава и само тогава когато последното неравенство е вярно за произволни положителни числа [tex]a,c[/tex].

Нека разкрием скобите:

[tex]\Leftrightarrow \sqrt{a^2+c^2-ac}+\sqrt{(1+a^2-2а)^2+(1+c^2-2c)^2-(1+ac-a-c)}\ge1[/tex]

[tex]\Leftrightarrow \sqrt{a^2+c^2-ac}+\sqrt{(a^2+c^2-ac)+1-(a+c)}\ge1[/tex]

Може да сменим променливите като положим: [tex]а+c=x, ac=y[/tex].

Тогава последното неравенство се трансформира в :
[tex]\Leftrightarrow \sqrt{x^2-3y}+\sqrt{x^2-x-3y+1}\ge1[/tex]

Още едно полагане [tex]x^2-3y=m[/tex] , [tex]1-x=n[/tex] и получаваме:

[tex]\sqrt{m}+\sqrt{m+n}\ge1[/tex]

Негови решения са :
(1): [tex]m>1[/tex], [tex]n\ge-m[/tex]

(2): [tex]0\le m\le 1[/tex], [tex]n>1-2\sqrt{m}[/tex]

Да се върнем назад за да разберем какво сме получили:

[tex](1)\Leftrightarrow \begin{cases} (x^2-3y)>1\\ (x^2-3y)+(1-x)+\ge 0 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} (a^2+c^2-ac)>1\\ (1-a)^2+(1-c)^2+(1-a)(1-c)\ge 0 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} AC>1\\ BD\ge 0 \end{cases}[/tex]


[tex](2)\Leftrightarrow ...[/tex]

[ptj]

[tex](2)\Leftrightarrow \begin{cases} 0<(x^2-3y)\le1 \\ 1-x\ge1-2\sqrt{x^2-3y} \end{cases}
\Leftrightarrow \begin{cases} 0<(x^2-3y)\le1 \\ x\le2\sqrt{x^2-3y} \end{cases}
\Leftrightarrow \begin{cases} 0<(x^2-3y)\le1 \\ x^2\le4(x^2-12y) \end{cases}
\Leftrightarrow \begin{cases} 0<(x^2-3y)\le1 \\ x^2-3y\ge y \end{cases}
\Leftrightarrow \begin{cases} 0<a^2+c^2-ac\le1 \\ a^2+c^2-ac\ge ac \end{cases}
\Leftrightarrow \begin{cases} 0<a^2+c^2-ac\le1 \\ (a-c)^2\ge 0 \end{cases}
\Leftrightarrow \begin{cases} 0<AC\le1 \\ (AO-CO)^2\ge 0 \end{cases}[/tex]

И двете решения обхващат всички неотрицателни дължини за [tex]AC[/tex] и [tex]BD[/tex], т.е. исканото условие е доказано.

П.П. Решението на [tex]\sqrt{m}+\sqrt{m+n}>1[/tex] оставям на вас.

[titi0021]

Много благодаря !!!