Грешка?

[MathyMatt]

Става въпрос за една задачка, взета от сборник, в която се съмнявам, че има грешка. Задачата е такава:

[tex]\triangle[/tex]ABC е вписан в окръжност k. Построена е допирателна t в точка C и успоредна на нея права d през точка B. Правата d пресича AC в точка D. Да се докаже, че AB[tex]^{2}[/tex][tex]\ne[/tex]AC.AD

[Евва]

Да разгледаме частен случай-правоъгълен [tex]\triangle[/tex]АВС ([tex]\angle[/tex]АВС=90[tex]^\circ[/tex])
Правата d пресича отсечката АС в т.D .Ще докажем,че [tex]AB^{2}[/tex]=AC.AD

(1 начин) t[tex]\bot[/tex]AC (диаметър) ,а d||t [tex]\Rightarrow[/tex] d[tex]\bot[/tex]AC т.е. BD[tex]\bot[/tex]AC
BD се явява височина към хипотенузата в правоъг.[tex]\triangle[/tex]АВС
От метрични равенства в правоъг.тр-к знаем [tex]а^{2}[/tex]=с[tex]а_{1 }[/tex]
Според нашия чертеж [tex]AB^{2}[/tex]=AC.AD

(2 начин) ([tex]\triangle[/tex]ABD-правоъгълен) cos([tex]\angle[/tex]BAD)=[tex]\frac{AD}{AB}[/tex]

([tex]\triangle[/tex]ABC-правоъгълен) cos([tex]\angle[/tex]BAC)=[tex]\frac{AB}{AC}[/tex]

Тогава [tex]\frac{AD}{AB}[/tex]=[tex]\frac{AB}{AC}[/tex] [tex]\Leftrightarrow[/tex]

[tex]AB^{2}[/tex]=AC.AD

[KOPMOPAH]

Отново не е ясно какво точно са искали да кажат авторите на задачата
При $AB=AC$, което съвсем не е изключено, се получава $AB^2 \ne AC.AD$, което безспорно е вярно, но в същото време няма никакво отношение към факта дали правите са успоредни или не...

[Knowledge Greedy]

Условието е
[tex]△ABC[/tex] е вписан в окръжност [tex]k[/tex]. Построена е допирателна [tex]t[/tex] в точка [tex]A[/tex] и успоредна на нея права [tex]d[/tex] през точка [tex]B[/tex]. Правата [tex]d[/tex] пресича [tex]AC[/tex] в точка [tex]D[/tex]. Да се докаже, че [tex]AB^{2} =AC.AD[/tex]

Задача от Паскалеви и Алашка.png (7.2 KiB) Прегледано 282 пъти

От успоредността следва дъгата [tex]AQ[/tex] е равна на дъгата [tex]AB[/tex] .
С половинките на тези дъги се измерват вписаните ъгли [tex]\angle ACB[/tex] и [tex]\angle ABQ(D)[/tex]
Другата двойка равни ъгли (отбелязани с жълто на чертежа) , единият от които е периферният при върха [tex]A[/tex] е равен на вписания [tex]\angle ABC[/tex] осигуряват достатъчните условия (по първи признак), за подобието на триъгълниците [tex]\triangle ABC[/tex] и [tex]\triangle ACB[/tex], от където следва [tex]\frac{AB}{AC} = \frac{DA}{BA}[/tex]

[KOPMOPAH]

Друга работа е, когато има коректно условие.