"Най-трудният австралийски проблем"

[Sup3rlum]

triangle.png (44.23 KiB) Прегледано 284 пъти

Дадено е че:
$\frac{BA}{HI} = \sqrt{2}$ , и $BA || HI$

$\frac{AC}{GF} = \sqrt{2}$ , и $AC || GF$

$\frac{BC}{DE} = \sqrt{2}$ , и $BC || DE$

Да се докаже че: $DY=ZE$
Да се намери $\frac{YZ}{BC}$

Не знам по каква характеристика това се определя като най-трудния, но в Австралия си е . Може бе защото са на другия край и са с главата на долу

[Sup3rlum]

Решението е мое, не е кой знае колко сложно.

Тук използвам едно от любимите ми неща - линейна интерполация, и в геометричния си вид представлява дължината на линия паралелна със една от страните на триъгълник $(1)$.

Без да навлизам в подробности:

Означавам
$AB=c$
$BC=a$
$AC=b$

$IH=c' = \frac{c}{\sqrt{2}}$

$DE=a' = \frac{a}{\sqrt{2}}$

$GF=b'= \frac{b}{\sqrt{2}}$

Знаем че $BHYD$ е успоредник $\Rightarrow DY=BH$

Използвайки $(1) \Rightarrow c' = (1-\frac{BH}{a})c \Rightarrow (1-\frac{BH}{a}) = \frac{1}{\sqrt{2}} \Rightarrow BH= a(1-\frac{1}{\sqrt{2}})$

Аналогично се доказва за страната ZE използвайки $(1) \therefore DY=ZE$

За второто подусловие имаме $\frac{YZ}{BC}=\frac{a'-2a(1-\frac{1}{\sqrt{2}})}{a} \Rightarrow \frac{YZ}{BC} = \frac{3}{\sqrt{2}}-2.$