Планиметрия

[irina_dp]

Даден е равнобедрения ∆АВС (АВ=ВС). През края на Е на ъглополовящата АЕ е построен перпендикуляр към АЕ до пресичането му с продължението на страната АС в точка F ( С е между А и F). Знае се,че АС=2m, FC=m/4. Да се намери лицето на ∆АВС.

[irina_dp]

Страните на ∆АВС образуват аритметична прогресия. Лицето му се отнася към лицето на равностранен триъгълник със същия периметър както 3:5. Да се намерят ъглите на ∆АВС. Да се докаже , че с^2-4d^2=12r^2, където "с" е средна по големина страна на триъгълника ∆АВС, d e разликата на аритметичната прогресия и d>0, a r e радиусът на вписаната в ∆АВС окръжност.

[S.B.]

Без заглавие (76).png (166.72 KiB) Прегледано 381 пъти

Страните на ∆АВС образуват аритметична прогресия. Лицето му се отнася към лицето на равностранен триъгълник със същия периметър както 3:5. Да се намерят ъглите на ∆АВС. Да се докаже , че с^2-4d^2=12r^2, където "с" е средна по големина страна на триъгълника ∆АВС, d e разликата на аритметичната прогресия и d>0, a r e радиусът на вписаната в ∆АВС окръжност.

Нека страните на [tex]\triangle ABC[/tex] означим $c - d , c , c + d$ Тогава $P_{ABC } = 3c , p_{ABC } = \frac{3c}{2}$
По Херон намирам $S_{ABC } = \displaystyle \frac{c\sqrt{3}\sqrt{\displaystyle \frac{c^{2}}{4} - d^{2}}}{2}$
$\triangle MNP$ равностранен, $P_{MNP } = 3c , S_{MNP } = \frac{c^{2}\sqrt{3}}{4}$
По условие $\frac{S_{ABC }}{S_{MNP }} = \frac{3}{5} \Leftrightarrow 5.S_{ABC } = 3.S_{MNP }$ След заместване и преработка се получава:
$10\sqrt{\frac{c^{2}}{4} - d^{2}} = 3.c \Leftrightarrow 100(\frac{c^{2}}{4} - d^{2}) = 9c^{2} \Leftrightarrow 16c^{2} - 100d^{2} = 0 \Leftrightarrow (4c - 10d)(4c + 10d) = 0 $
получавам $c_{1 } = - \frac{5}{2}d < 0 ,c_{2 } = \frac{5}{2}d > 0$
Сега страните на $\triangle ABC$ са : $\frac{3}{2}d , \frac{5}{2}d , \frac{7}{2}d$
За най -голямата страна прилагам косинусова теорема и определям [tex]\angle \alpha[/tex]:
$(\frac{7}{2}d)^{2} = (\frac{3}{2}d)^{2} + (\frac{5}{2}d)^{2} - 2.\frac{3}{2}d.\frac{5}{2}d.cos\alpha \Leftrightarrow$
след преработка$ \frac{15}{4} = - \frac{15}{2}.cos\alpha \Rightarrow cos\alpha = - \frac{1}{2} \Rightarrow \angle \alpha = 120^\circ$
Синусова теорема: $\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{7}{2}d}{sin120^\circ} = \displaystyle\frac{\displaystyle \frac{5}{2}d}{sin\beta} \Rightarrow sin\beta = \frac{5\sqrt{3}}{14}$
Отново синусова теорема : $\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{7}{2}d}{sian120^\circ} = \displaystyle \frac{\displaystyle\frac{3}{2}d}{sin\gamma} \Rightarrow sin\gamma = \frac{3\sqrt{3}}{14}$
Ще определим $r$ : $S_{ABC } = \frac{15d^{2}\sqrt{3}}{16} ,S_{ABC } = p.r = \frac{15}{4}d.r \Rightarrow \frac{15d^{2}\sqrt{3}}{16} = \frac{15}{4}d.r \Rightarrow r = \frac{d\sqrt{3}}{4}$
Ще докажем,че $c^{2} - 4d^{2} = 12r^{2}$
Намерихме,че $c= \frac{5}{2}d , r = \frac{d\sqrt{3}}{4}$
$A = c^{2} - 4d^{2} = (\frac{5}{2}d)^{2} - 4d^{2} = \frac{9d^{2}}{4}$
$B = 12r^{2} = 12(\frac{d\sqrt{3}}{4})^{2} = 12.\frac{3d^{2}}{16} = \frac{9d^{2}}{4}$
Получихме $A = B \Rightarrow c^{2} - 4d^{2} = 12r^{2}$

[KOPMOPAH]

Даден е равнобедрения ∆АВС (АВ=ВС). През края на Е на ъглополовящата АЕ е построен перпендикуляр към АЕ до пресичането му с продължението на страната АС в точка F ( С е между А и F). Знае се,че АС=2m, FC=m/4. Да се намери лицето на ∆АВС.

Равнобедрен триъгълник.png (9.27 KiB) Прегледано 336 пъти

От синусова теорема за $\triangle AEC$ имаме $${x \over {\sin \varphi}}={l_a \over {\sin 2\varphi}}\Rightarrow x={l_a \over {2\cos \varphi}}~~~~~~(1)$$
От правоъгълния $\triangle AED$ (с хипотенуза $AD={9 \over 4}m$) имаме $$l_a={9 \over 4}m \cos \varphi$$Замествайки в $(1)$ получаваме $$x={l_a \over {2\cos \varphi}}={{\displaystyle {9 \over 4}m \cos \varphi} \over {2\cos \varphi}}={9 \over 8}m~~~(2)$$
От свойствата на ъглополовящата за $\triangle ABC$ имаме $${2m \over x}= {b \over {b-x}}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(3)$$Замествайки със стойността за $x$ от $(2)$ в равенство $(3)$ получаваме $b={18 \over 7}m$
След като имаме трите страни, не ни остава нищо, освен друго

Добрият стар Херон се притича на помощ$$S_{ABC}=\sqrt{{25 \over 7}m.m.m.{11 \over 7}m}={5 \over 7}m^2\sqrt{11}$$

Скрит текст: покажи

т.$D$ на чертежа да се приеме за т.$F$ от условието