Дължини на страни на триъгълник

[malkoglupav]

За [tex]\triangle[/tex]ABC центърът на вписаната окръжност е О и лицата на AOB, BOC и AOC са съответно 4,9 и 11. Намерете дължините на страните AB, BC и AC.

[Евва]

АВ= [tex]\frac{8}{\sqrt[4]{8}}[/tex] , BC=[tex]\frac{18}{\sqrt[4]{8}}[/tex] , AC=[tex]\frac{22}{\sqrt[4]{8}}[/tex]

Това ли е отговора ?

[S.B.]

Без заглавие (80).png (223.4 KiB) Прегледано 567 пъти

За [tex]\triangle[/tex]ABC центърът на вписаната окръжност е О и лицата на AOB, BOC и AOC са съответно 4,9 и 11. Намерете дължините на страните AB, BC и AC.

[tex]S_{\triangle ABC } = S_{\triangle AOB} + S_{\triangle BOC} + S_{\triangle BOC} = 4 + 9 + 11 = 24[/tex]

[tex]S_{\triangle AOB} = \frac{AB.r}{2} \Leftrightarrow \frac{AB.r}{2} = 4 \Rightarrow AB = \frac{8}{r}[/tex]

[tex]S_{\triangle BOC} = \frac{BC.r}{2} \Leftrightarrow \frac{BC.r}{2} = 9 \Rightarrow BC = \frac{18}{r}[/tex]

[tex]S_{\triangle AOC} = \frac{AC.r}{2} \Leftrightarrow \frac{AC.r}{2} = 11 \Rightarrow AC = \frac{22}{r}[/tex]

Ще използвам формулата за лице на Херон :

$p = \frac{24}{r} , p - AB = \frac{16}{r} , p - BC = \frac{6}{r} , p - AC = \frac{2}{r}$

$ S_{\triangle ABC} = 24$ $ \Rightarrow \sqrt{\frac{24}{r}.\frac{16}{r}.\frac{6}{r}.\frac{2}{r}} = 24 \Leftrightarrow 24 = \frac{48\sqrt{2}}{r^{2}} \Rightarrow r^{2} = \sqrt{8} \Rightarrow r = \sqrt[4]{8}$

$AB = \frac{8}{r} = \frac{8}{\sqrt[4]{8}} , BC= \frac{18}{r} = \frac{18}{\sqrt[4]{8}} , AC = \frac{22}{r} = \frac{22}{\sqrt[4]{8}}$

След преработка се получава : $$ AB = 4\sqrt[4]{2}$$ $$ AC = 9\sqrt[4]{2}$$ $$ BC = 11\sqrt[4]{2}$$