Проста задачка за тангенс

[KOPMOPAH]

Тангенс от ъгъл.png (6.37 KiB) Прегледано 400 пъти

Има различни начини за намиране тангенса от $\measuredangle ABC$. Да видим някои от тях ...

[Davids]

1) $tg\alpha = tg(180 - (\angle 1 + \angle 2)) = -tg(\angle 1 + \angle 2) = -\frac{tg\angle 1 + tg\angle 2}{1 - tg\angle1 tg\angle2} = -\frac{\frac{1}{2} + \frac{1}{3}}{1 - \frac{1}{2}.\frac{1}{3}} = -1$

2) $tg\alpha = tg(arctg(3) + arctg(2)) = \frac{3 + 2}{1 - 3.2} = -1$

3) Намираме двете страни $AB = \sqrt{10}; BC = \sqrt{5}; AC = 5$, правим косинусова теорема:
$cos\alpha = \frac{10 + 5 - 25}{2.\sqrt{10}.\sqrt{5}} = -\frac{1}{\sqrt{2}}$
$\Rightarrow sin\alpha = \frac{1}{\sqrt{2}}$
$\Rightarrow tg\alpha = -1$

После може още, сега излизам

[KOPMOPAH]

...

После може още, сега излизам

Това решение влиза в графата "стандартен подход", да видим после какво "може още"

[S.B.]

Без заглавие (12).png (472.53 KiB) Прегледано 382 пъти

Прикачения файл Тангенс от ъгъл.png вече е недостъпен

Има различни начини за намиране тангенса от $\measuredangle ABC$. Да видим някои от тях ...

[tex]tg\beta = \frac{AD}{DB} = \frac{3}{1} = 3 ,tg\gamma = \frac{DC}{DB} = \frac{2}{1} = 2[/tex]
$\alpha = \beta + \gamma \Rightarrow tg\alpha = tg(\beta + \gamma) = \frac{tg\beta + tg\gamma}{1 - tg\beta.tg\gamma} = \frac{3 + 2}{1 - 3.2} = \frac{5}{-5} = -1$

[Sup3rlum]

Ето няколко "по-нестандартни метода"

1.

Нормализираме векторите:

$\vec{CA} \rightarrow \frac{1}{\sqrt{5}}\begin{pmatrix}2 \\ 1 \end{pmatrix}$

$\vec{BA} \rightarrow \frac{1}{\sqrt{10}}\begin{pmatrix} -3 \\ 1 \end{pmatrix}$

Търсим трансформация $T$ където $T(\vec{CA})\rightarrow \vec{BA}$ и $T(\vec{0})\rightarrow \vec{0}$

И $T$ представена от матрицата $M=\begin{bmatrix}c & -s \\ s & c\end{bmatrix}$

Имаме: $\begin{array}{|l}\frac{2}{\sqrt{5}}c-\frac{1}{\sqrt{5}}s = -\frac{3}{\sqrt{10}} \\ \frac{2}{\sqrt{5}}s+\frac{1}{\sqrt{5}}c = \frac{1}{\sqrt{10}}\end{array}$

С решение на системата,
$c=-\frac{1}{\sqrt{2}}$
$s=\frac{1}{\sqrt{2}}$

Тук веднага може да се забележи, че $tan\alpha=\frac{s}{c}=-1$

Но нека още една стъпка да направим:

Ако разгледаме една права с формула $y=mx$, точка на тази права ще е с координати $\begin{pmatrix}x\\mx\end{pmatrix}$,
$T\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\rightarrow \begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\frac{1}{\sqrt{2}}x-\frac{1}{\sqrt{2}}y\\\frac{1}{\sqrt{2}}x-\frac{1}{\sqrt{2}}y\end{pmatrix}$

Ако взмем правата $y=0,m=0$, правата $y'=m'x'$ ще има наклон $m'=tan\alpha$

$\Rightarrow \begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\frac{1}{\sqrt{2}}x\\\frac{1}{\sqrt{2}}x\end{pmatrix}$

И от тук се вижда, че $y'=-x' \Rightarrow m'=tan\alpha=-1$

[Sup3rlum]

2.

По синусова и косинусова теорема

$sin\alpha=\frac{2S_{ABC}}{AB.BC}=\frac{1}{\sqrt{2}}$

$cos\alpha=-\frac{AB^2+BC^2-AB^2}{2AB.BC}=-\frac{1}{2}$

$tan\alpha=\frac{sin\alpha}{cos\alpha}=-1$

[KOPMOPAH]

Тангенс от ъгъл-2.png (8.9 KiB) Прегледано 339 пъти

Ето какво решение ви предлагам аз:

$$BD=BC=AD \Rightarrow \measuredangle DBA= 45^\circ \Rightarrow \measuredangle ABC=135^\circ$$
Нататък е ясно...