Лице на триъгълник

[nelson88]

Здравейте,

имам нужда от помощ за следната задача:

Даден е триъгълник АВС с дължини на височината, вътрешната ъглополовяща и медианата, построени през върха С, съответно равни на 6, 3[tex]\sqrt{5}[/tex] и 2[tex]\sqrt{13}[/tex]. Намерете лицето на триъгълника.

Благодаря!

[S.B.]

Без заглавие (14).png (194.57 KiB) Прегледано 553 пъти

Даден е триъгълник АВС с дължини на височината, вътрешната ъглополовяща и медианата, построени през върха С, съответно равни на 6, 3[tex]\sqrt{5}[/tex] и 2[tex]\sqrt{13}[/tex]. Намерете лицето на триъгълника

Съжалявам,но нищо по-елегантно не можах да измисля!
Нека $a,b,c$ са страните на триъгълника.От формулите за ъглополовяща,медиана и височина имаме:
[tex]CL = \frac{\sqrt{ab}}{a +b}\sqrt{(a + b)^{2} c^{2}} \Leftrightarrow 3\sqrt{5} = \frac{\sqrt{ab}}{a +b}\sqrt{(a + b)^{2} - c^{2}} \Rightarrow 45 = \frac{ab[(a + b)^{2} - c^{2}]}{a +b}[/tex]
[tex]MC^{2} = \frac{2a^{2} + 2b^{2} - c^{2}}{4} \Leftrightarrow 52 = \frac{2a^{2} + 2b^{2} - c^{2}}{4}[/tex]
[tex]\sqrt{a^{2} - h^{2}} + \sqrt{b^{2} - h^{2}} = c \Leftrightarrow \sqrt{a^{2} - 36} + \sqrt{b^{2} - 36} = c[/tex]
Образуваш система:
[tex]\begin{array}{|l}\displaystyle \frac{ab[a + b)^{2} - c^{2}]}{a +b} = 45 \\ \displaystyle\frac{2a^{2} + 2b^{2} - c^{2}}{4} = 52\\\sqrt{a^{2} - 36} + \sqrt{b^{2} - 36} = c \end{array}[/tex]
Удоволствието от решаването на системата оставям изцяло за теб!
Не е необходимо да намираш $a$ и $b$ - достатъчно е да намериш $c$ и тогава $S_{\triangle } = \frac{c.6}{2} = 3c$

[nelson88]

Благодаря!

[S.B.]

Съжалявам,но нищо по-елегантно не можах да измисля!
Нека $a,b,c$ са страните на триъгълника.От формулите за ъглополовяща,медиана и височина имаме:
[tex]CL = \frac{\sqrt{ab}}{a +b}\sqrt{(a + b)^{2} c^{2}} \Leftrightarrow 3\sqrt{5} = \frac{\sqrt{ab}}{a +b}\sqrt{(a + b)^{2} - c^{2}} \Rightarrow 45 = \frac{ab[(a + b)^{2} - c^{2}]}{a +b}[/tex]

В този ред съм допуснала грешка .Да се чете:
[tex]CL = \frac{\sqrt{ab}}{a +b}\sqrt{(a + b)^{2} - c^{2}} \Leftrightarrow 3\sqrt{5} = \frac{\sqrt{ab}}{a + b}\sqrt{(a + b)^{2} - c^{2}} \Rightarrow 45 = \frac{ab[(a + b)^{2} - c^{2}]}{(a + b)^{2}}[/tex]
И тъй като това е първото уравнение от системата съответно се коригира и системата.

[Knowledge Greedy]

Идеята e ясна - да открием основата [tex]c[/tex].
Върху чудесния чертеж на S.B. се изкушавам да направя допълнително построение - точка [tex]N[/tex] - пресечна на правата [tex]CL[/tex] и симетралата [tex]s_{AB}[/tex] на основата [tex]AB[/tex] на триъгълника.

С едно принципно допълнително построение.png (5.5 KiB) Прегледано 508 пъти

Това построение, разбира се, е повлияно от резултатите на двете питагорови теореми - за [tex]\triangle MHC[/tex] и [tex]\triangle LHC[/tex] .
Тези резултати са [tex]MH=4[/tex] и [tex]LH=3[/tex].
Ясно е тогава, че [tex]\triangle LMN \sim \triangle LHC[/tex], с коефициент на подобие [tex]k=ML:LH=1:3[/tex]
Ето защо [tex]LN=2[/tex]

Тъй като точката [tex]N[/tex] е от описаната около дадения [tex]\triangle ABC[/tex],
по свойството [tex]AL.LB=CL.LN[/tex] на пресичащите се хорди [tex]AB[/tex] и [tex]CN[/tex],
намирме [tex]\left ( \frac{c}{2} \right )^2=3\sqrt{5} \times 2[/tex]
и [tex]c=\sqrt{8\sqrt{5}}[/tex]

Окончателно [tex]S_{\triangle ABC}=\frac{ch_c}{2}=6\sqrt{2\sqrt{5}}[/tex]

[Гост]

До колегата преди мен - подходът ти е правилен, но си избързал: LN е продължение на СL и няма да бъде 2, а 1/3х3√5, което е √5. Катетът MN ще бъде 2. И дотук всичко изглежда логично, обаче като приложим свойството на хордите получаваме нереална стойност за с. От тук следва, че триъгълникът е тъпоъгълен, като височината от върха с ще бъде извън него. И оттам нататък вече задачата е малко по-различна, и аз не съм я решил още.