Височини в триъгълник

[konstantin1010]

Да се докаже, че ако в ABC hc = ha + hb, то 1/sin[tex]\alpha[/tex] + 1/sin\beta = 1/sin\gamma

[S.B.]

Без заглавие (44).png (240.25 KiB) Прегледано 411 пъти

Да се докаже, че ако в $ABC hc = ha + hb$, то $1/sin\alpha + 1/sin\beta = 1/sin\gamma$

Нека $AA_{1 } = h_{a } , BB_{1 } = h_{b }, CC_{1 }= h_{c } , AB = c , BC = a ,AC = b$

От [tex]\triangle ACA_{1 } \rightarrow \frac{AA_{1 }}{AC} = sin\gamma \Leftrightarrow h_{a } = b.sin\gamma[/tex]

От [tex]\triangle BCC_{1 } \rightarrow \frac{C_{1 }C}{BC} = sin\beta \Leftrightarrow h_{c } = a.sin\beta[/tex]

От [tex]\triangle ABB_{1 } \rightarrow \frac{BB_{1 }}{AB} = sin\alpha \Leftrightarrow h_{b } = c.sin\alpha[/tex]

От синусова теорема :
$\frac{a}{sin\alpha} = 2R \Rightarrow a = 2R.sin\alpha $,
$\frac{b}{sin\beta} = 2R \Rightarrow b = 2R.sin\beta $,
$\frac{c}{sin\gamma} = 2R \Rightarrow c = 2R.sin\gamma$

Замествам и получавам:
[tex]h_{a } = b.sin\gamma = 2R.sin\beta.sin\gamma[/tex]

[tex]h_{b } = c.sin\alpha = 2R.sin\gamma.sin\alpha[/tex]

[tex]h_{c } = a.sin\beta = 2R.sin\alpha.sin\beta[/tex]

По условие $h_{c } = h_{a } + h_{b } \Leftrightarrow$

$2R.sin\alpha.sin\beta = 2R.sin\beta.sin\gamma + 2R.sin\gamma.sin\alpha$

Деля двете страни на $2R.sin\alpha.sin\beta.sin\gamma \ne 0$

$\frac{2R.sin\alpha.sin\beta}{2R.sin\alpha.sin\beta.sin\gamma} = \frac{2R.sin\beta.sin\gamma}{2R.sin\alpha.sin\beta.sin\gamma} + \frac{2R.sin\gamma.sin\alpha}{2R.sin\alpha.sin\beta.sin\gamma} \Leftrightarrow$
$$\frac{1}{sin\gamma} = \frac{1}{sin\alpha} + \frac{1}{sin\beta}$$

[Евва]

Ето моята идея :
[tex]h_{c }[/tex]=[tex]h_{a }[/tex]+[tex]h_{b }[/tex] |:2

[tex]\frac{ch_{c }}{2c}[/tex]=[tex]\frac{ah_{a }}{2a}[/tex]+[tex]\frac{bh_{b }}{2b}[/tex]

[tex]\frac{S}{c}[/tex]=[tex]\frac{S}{a}[/tex]+[tex]\frac{S}{b}[/tex]

ab=bc+ac (1)

От sin T знаем a=2Rsin[tex]\alpha[/tex] , b=2Rsin[tex]\beta[/tex] , c=2Rsin[tex]\gamma[/tex] ( заместваме в (1) )

4[tex]R^{2}[/tex]sin[tex]\alpha[/tex].sin[tex]\beta[/tex]=4[tex]R^{2}[/tex]sin[tex]\beta[/tex].sin[tex]\gamma[/tex]+4[tex]R^{2}[/tex]sin[tex]\alpha[/tex].sin[tex]\gamma[/tex] |: 4[tex]R^{2}[/tex]sin[tex]\alpha[/tex]sin[tex]\beta[/tex]sin[tex]\gamma[/tex][tex]\ne[/tex]0

[tex]\frac{1}{sin\gamma}[/tex]=[tex]\frac{1}{sin\alpha}[/tex]+[tex]\frac{1}{sin\beta}[/tex]