Да се докаже равенство с тангенси

[vezni]

На права лежат точките [tex]A,B,C[/tex] и [tex]D[/tex] (в този ред) така, че [tex]AB=BC=CD[/tex]. Построена е точка [tex]P[/tex] такава, че [tex]\angle BPC=90\degree[/tex]. Означени са [tex]\angle APB=\alpha[/tex] и [tex]\angle CPD=\beta[/tex]. Да се докаже, че [tex]\tg\alpha.\tg\beta=\frac 14[/tex].

[Евва]

Реших я като направих допълнителни построения .

[S.B.]

Без заглавие (88).png (262.44 KiB) Прегледано 382 пъти

На права лежат точките [tex]A,B,C[/tex] и [tex]D[/tex] (в този ред) така, че [tex]AB=BC=CD[/tex]. Построена е точка [tex]P[/tex] такава, че [tex]\angle BPC=90\degree[/tex]. Означени са [tex]\angle APB=\alpha[/tex] и [tex]\angle CPD=\beta[/tex]. Да се докаже, че [tex]\tg\alpha.\tg\beta=\frac 14[/tex].

Нека в правоъгълния триъгълник $BCP\rightarrow$ $PC = a, PB = b$
[tex]PB[/tex] и $PC$ се явяват медиани съответно в $\triangle ACP$ и $\triangle BDP$

По старото златно правило видиш ли медиана - продължи я и удвои дължината й!

Построявам $\triangle APB_{1 }$ и $\triangle DPC_{1 }$ ,където $PB_{1 } = 2b, PC_{1 } = 2a$
$\triangle ABB_{1 }\cong BCP$ ( 1-ви признак ) $\Rightarrow $ за $\triangle APB_{1 } \rightarrow \angle B_{1 } = 90^\circ \Rightarrow tg\alpha = \frac{a}{2b}$
Аналогично от $\triangle PDC_{1 } \rightarrow tg\beta = \frac{b}{2a}$
$tg\alpha.tg\beta = \frac{a}{2b}.\frac{b}{2a} = \frac{1}{4}$