Геометрия

[momchilova_y]

В триъгълник ABC е построена медианата CM (M∈AB). Върху отсечката CM е избрана точка N, такава че CN:NM=2:5. Правата AN пресича BC в точка K. Да се намери:
а) отношението, в което точка K дели отсечката BC;
б) отношението, в което точка N дели отсечката AK;

[Добромир Глухаров]

Както препоръчва S.B., продължаваме медианата CM двойно до точка $C_1$ ($CM=MC_1$). $ACBC_1$ - успоредник. (Доказва се с еднакви триъгълници, например $\Delta BMC\cong\Delta AMC_1$ по Първи признак.) Оттук $AC_1||BC\Rightarrow\Delta AC_1N\sim\Delta KNC$ (По три ъгъла съответно равни). Следователно $AN:NK=C_1N:NC=(5+7):2=6$ и $AC_1:CK=6\Rightarrow(BK+KC):CK=6\Rightarrow1+BK:KC=6\Rightarrow BK:KC=5$

[S.B.]

Без заглавие (96).png (335.62 KiB) Прегледано 652 пъти

Както препоръчва S.B., продължаваме медианата CM двойно до точка $C_1$

Е,всяко правило си има изключение, а и добре е да има разнообразие ,че иначе ще бъде скучно!

а)
Построявам права [tex]l : \begin{cases} l z M\\ l || AK \end{cases} , l\cap CB = P[/tex]

Построявам права [tex]m: \begin{cases} m z A \\ m || BK \end{cases} , m\cap l = Q[/tex]

$\triangle MBP \cong \triangle AQM ( AM = MB ,$ ъглите $\alpha $ са връхни ,а ъглите $\beta$ са кръстни)

$AQ || KP, AK|| QP \Rightarrow AQPK$ е успоредник;

$PB = AQ ,AQ = KP \Rightarrow KP = PB \Rightarrow KB = 2.KP$

По Талес $CN:NM = CK:KP = 2:5 $ , но $KB = 2.KP \Rightarrow CK : KB = 2 : 10$

б)
Построявам права $p:\begin{cases} p z M \\ p || CB \end{cases} , p \cap AK = L$

$\triangle NCK \approx \triangle MCP \rightarrow \frac{CN}{CM} = \frac{CK}{CP} = \frac{NK}{MP} = \frac{2}{7} \Rightarrow MP = 7k$

$MP = MQ,MQ = AL $ (защото и $AQML$ е успоредник) $\Rightarrow AL = 7k,LK = LN + NK = 5k + 2k$

$ \Rightarrow AN : NK = 12:2$