Блиц - 7

[KOPMOPAH]

Blitz-7.png (11.4 KiB) Прегледано 448 пъти

Триъгълниците, които изглеждат равностранни, са равностранни
Търси се лицето на синия триъгълник (тр-к, както се пише напоследък).

[S.B.]

Blitz-7.png

Триъгълниците, които изглеждат равностранни, са равностранни
Търси се лицето на синия триъгълник (тр-к, както се пише напоследък).

С Ваше позволение ще ползвам Вашия чертеж!
Нека страната на зеления триъгълник с лице [tex]S = 28[/tex] е $a$,тогава $ \frac{a^{2}\sqrt{3}}{4} = 28 \Rightarrow a = \frac{4\sqrt{7}}{\sqrt[4]{3}}$
Нека страната на зеления триъгълник с лице $S = 7$ е $b$ ,тогава $\frac{b^{2}\sqrt{3}}{4} = 7 \Rightarrow b = \frac{2\sqrt{7}}{\sqrt[4]{3}}$
Страната на най - голямия триъгълник е $ c = a + b = \frac{4\sqrt{7}}{\sqrt[4]{3}} + \frac{2\sqrt{7}}{\sqrt[4]{3}} = \frac{6\sqrt{7}}{\sqrt[4]{3}}$
Лицето му е $S = \frac{c^{2}\sqrt{3}}{4} = .... = 63$
Лицето на всеки от трите вътрешни триъгълници,които ограждат синия триъгълник се изчислява по формулата : $S = \frac{1}{2}a.b.sin60^\circ = \frac{1}{2}.\frac{4\sqrt{7}}{\sqrt[4]{3}}.\frac{2\sqrt{7}}{\sqrt[4]{3}}.\frac{\sqrt{3}}{2} = ... = 14$
Лицето на синия триъгълник е :$ S = 63 - 3.14 = 21$

[KOPMOPAH]

Много хубаво и подробно обяснение.

Аз пък (търсейки лесно и бързо решение), много бързичко стигнах до извода, че лицето на най-големия тр-к ( ) е $63$ (от подобието). Малките зелени безименни тр-ци ( ) около синия имат два пъти по-голямо лице от най-малкия равностранен (ясно защо), демек са по $14$.
Вадим от $63$ три пъти по $14$ и получаваме $63-3.14=21$.

[ptj]

Ако построим двата външни равностранни триъгълника с лица 28 и 7, така че две от страните им да съвпадат с две от страните на най-големия равностранен, а трите триъгълника да имат един и съш общ връх, то ще получим че те делят страната на големия на 3 равни части (следва от подобието).
Тогава лицето на големия равностранен е 3^2.7=63.
Вътрешните разностранни са с лице [tex]2.7=14[/tex],защото имат обща височина с най-налкия равностранен и страна два пъти по-голяма от съответната.

Лицето на търсения равностранен е [tex]S=63-3.14=21[/tex]
-------------------------------------------------------------------------
Друг вариант е една косинусова теорема за вътрешния разностранен, с която намираме че страната на търсения равностранен е [tex]\sqrt{3}-[/tex]пъти по-голяма от тази на равностранния с лице 7.
Т.е. [tex]S=3.7=21[/tex]

[Евва]

А може ли така :
Нека [tex]\triangle[/tex]EFD е най-големия , [tex]\triangle[/tex]АВС е синия ,като т.А,т.В,т.С лежат съответно на отс.EF ,FD ,DE .
Нека т.М е медицентър на синия [tex]\triangle[/tex] ,а т.Р е среда на отсечката ЕС .
_________________________________________________________________________________________

[tex]S_{син }[/tex]=3[tex]S_{AMC }[/tex]=3( [tex]\frac{1}{2}[/tex][tex]S_{AMCP-ромб }[/tex] )=3[tex]S_{AMP }[/tex]=3[tex]S_{най-малък }[/tex]=3.7=21