Симетрали

[Mrgoot999]

Симетралата на страните AC и BC на /\ABC се пресичат в точка O на страната AB. Докажете, че /\ABC е правоъгълен.

[KOPMOPAH]

Пресечената точка на симетралите е равноотдалечена от трите върха (защо ). Това означава, че $AO=OB$, но $O \in AB$, следователно $CO$ е медиана. А добре известно е, че в само в правоъгълния триъгълник медианата към хипотенузата е равна на половината хипотенуза.

[S.B.]

Без заглавие (93).png (201.21 KiB) Прегледано 734 пъти

Симетралата на страните AC и BC на /\ABC се пресичат в точка O на страната AB. Докажете, че /\ABC е правоъгълен.

[tex]M\in S_{AC } \Rightarrow AM = CM[/tex] (като точка лежаща на симетралата на $AC$)
$M \in S_{BC } \Rightarrow BM = CM$ (като точка лежаща на симетралата на $BC$)
$ \Rightarrow AM = BM , М\in AB\Rightarrow т.M $ е среда на $AB$ и $МC$ е медианата към $AB$

Теорема - признак и свойство на правоъгълния триъгълник ABC : $\angle C = 90^\circ \Leftrightarrow CM = \frac{1}{2} AB$,където CM е медиана

$CM = AM = BM \Rightarrow CM = \frac{1}{2} AB \Rightarrow \triangle ABC$ е правоъгълен

Скрит текст: покажи

Ако все още не е изучавана тази теорема:
От $AM = MC \Rightarrow \angle MAC = \angle CAM = \alpha $
От $BM = CM \Rightarrow \angle CBM = \angle MCB = \beta$
За $\triangle ABC \rightarrow \angle MAC + \angle ACM + \angle MBC + \angle BCM = 2\alpha + 2\beta = 180^\circ $
$\Rightarrow \alpha + \beta = 90^\circ \Rightarrow \angle ACM + \angle BCM = 90^\circ \Rightarrow \angle ACB = 90^\circ$
И $\triangle ABC$ е правоъгълен

[Mrgoot999]

Благодаря ви, Корморан и S.B. за бързата и качествена помощ!!!