Триъгълник със вписан правоъгълник

[thefolenangel]

В тригълникът ABC, AB =6см, височината към нея е 3см, е вписан правоъгълник. S на правоъгълникът = 2.5см. И едната страна е успоредната на AB.

Да се намерят страните на правоъгълникът.

[martin123456]

нека павоъгълникът е [tex]MNPQ, MN \in AB, Q \in AC, P \in BC[/tex]. нека [tex]CH \cap QP=T[/tex], нека [tex]TH=x \Rightarrow TC=3-x[/tex]. [tex]\Delta QPC \sim \Delta ABC \Rightarrow \frac{3-x}{QP}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2} \Rightarrow QP=6-2x[/tex].
[tex]S_{MNPQ}=(6-2x)x=2.5 \Leftrightarrow 6x-2x^2=2.5 \Leftrightarrow 12x-4x^2=5 \Leftrightarrow 4x^2-12x+5=0[/tex], [tex]D=144-80=64[/tex], [tex]x_1=\frac{12-8}{8}=\frac{1}{2}[/tex], [tex]x_2=\frac{5}{2}[/tex].
значи страните са [tex]\frac{1}{2}, 5[/tex] или [tex]\frac{5}{2}, 1[/tex]