Геометрия — задачи

[Bademka]

Здравейте,
Може ли да ми помогнете със задачките?
Благодаря

1. Даден е правоъгълникът ABCD със страни АВ = 4 и ВС = 3. Ако DP и DQ са ъглополовящи съответно в триъгълниците ABD и BDC, лицето на DPQ е:

2. Диаметърът СР на описаната около равнобедрения триъгълник АВС окръжност пресича основата АВ в точка D. Ако CD = а и DP = b , синусът на < ACB е равен на:

[KOPMOPAH]

Геометрия - задачи - 1.png (9.86 KiB) Прегледано 392 пъти

За $\triangle ABD$ по Питагорова теорема$$BD^2=AB^2+AD^2\Rightarrow BD=5$$
От свойствата на ъглополовящата в $\triangle ABD$ имаме $AP:PB=3:5$, от друга страна $AP+PB=4$ и съставяме системата:$$ \begin{array}{|l} AP:PB=3:5\\ AP+PB=4 \end{array}\Rightarrow AP=\frac 32, PB=\frac 52$$
По същата логика от свойствата на ъглополовящата в $\triangle BCD$ имаме $BQ:QC=5:4$, от друга страна $BQ+QC=3$ и съставяме системата:$$ \begin{array}{|l} BQ:QC=5:4\\ BQ+QC=3 \end{array}\Rightarrow BQ=\frac 53, QC=\frac 43$$
Лицето $S_{DPQ}$ ще получим, като от лицето на правоъгълника извадим сумата на лицата на жълтия, зеления и червения триъгълник.
$$S_{DPQ}=S_{ABCD}-\left(S_{APD}+S_{PBQ}+S_{QCD}\right)$$ $$S_{DPQ}=4.3-\left(\frac 12.\frac 32.3+\frac 12.\frac 52.\frac 53+\frac 12.\frac 43.4\right)=...$$

[Bademka]

Мерси!

[S.B.]

Без заглавие - 2020-04-21T141820.475.png (245.96 KiB) Прегледано 384 пъти

2. Диаметърът СР на описаната около равнобедрения триъгълник АВС окръжност пресича основата АВ в точка D. Ако CD = а и DP = b , синусът на < ACB е равен на:

[tex]CP[/tex] е диаметър $\Rightarrow \triangle CPB$ е правоъгълен,
$\triangle ABC$ е равнобедрен $\Rightarrow CP$ е и симетрала на $AB \Rightarrow AB\bot CP, AD = BD$
За $\triangle CBP \rightarrow BD^{2} = CD.DP \Leftrightarrow x^{2} = a.b \Rightarrow x = \sqrt{ab} \Rightarrow AB = 2\sqrt{ab}$
За $\triangle ABC$ прилагам Синусова теорема :
$\frac{AB}{sin\angle ACB} = CP \Leftrightarrow \frac{2\sqrt{ab}}{sin\angle ACB} = a + b \Rightarrow$ $$ sin\angle ACB = \frac{2\sqrt{ab}}{a + b}$$

[Bademka]

Мерси!