Пирамида

[mariailieva]

Основата на пирамида е успоредник със страни 3см и 7см, а един от диагоналите му е 6 см.Височината на пирамидата е 4 см и минава през пресечната точка на диагоналите му.Намерете околните ръбове на пирамидата.

[KOPMOPAH]

Пирамида с основа успоредник.png (9.92 KiB) Прегледано 282 пъти

Нека острият ъгъл на успоредника е $\alpha$.
Първо да помислим кой от диагоналите може да е $6$ - малкият или големият? Правилно, $BD=6$.

Прилагаме Косинусова теорема за $\triangle ABD$:$$BD^2=AB^2+AD^2-2.AD.AB.\cos\alpha$$ $$36=49+9-42\cos\alpha\Rightarrow ... \Rightarrow {\color{blue}\boxed{{\color{black}\cos\alpha = \frac {11}{21}}}}$$
Сега прилагаме Косинусова теорема за $\triangle ABC$:$$AC^2=AB^2+BC^2-2.AB.BC.\cos(180^\circ-\alpha)$$ $$AC^2=AB^2+BC^2+2.AB.BC.\cos\alpha=$$ $$AC^2=49+9+42.\frac {11}{21}\Rightarrow {\color{blue}\boxed{{\color{black}AC=4\sqrt 5}}}$$

За да намерим околните ръбове ни трябват две Питагорови теореми:$$BE^2=BO^2+OE^2 \Rightarrow BE^2=9+16 \Rightarrow ... \Rightarrow {\color{blue}\boxed{{\color{black}BE=5}}}$$ $$AE^2=AO^2+OE^2 \Rightarrow AE^2=(2\sqrt 5)^2+16 \Rightarrow ... \Rightarrow {\color{blue}\boxed{{\color{black}AE=6}}}$$
$%{\color{blue}\boxed{{\color{black} }}}$