пирамида

[mariailieva]

. Двустенният ъгъл между две околни стени на правилна триъгълна пирамида е [tex]\alpha[/tex] . Намерете отношението на основен и околен ръб на пирамидата.

[S.B.]

Без заглавие (88).png (359.8 KiB) Прегледано 291 пъти

. Двустенният ъгъл между две околни стени на правилна триъгълна пирамида е [tex]\alpha[/tex] . Намерете отношението на основен и околен ръб на пирамидата.

[tex]PB \bot MC , PA\bot MC, PB = PA = h_{l } , \angle APB = \alpha , AB = BC = CA = a, AM = BM = CM = l[/tex]
За $\triangle APB$ прилагам Косинусова теорема:
$a^{2} = h_{l }^{2} + h_{l }^{2} - 2.h_{l }.h_{l }.cos\alpha \Rightarrow a^{2} = 2h_{l }^{2}(1 - cos\alpha) = 4h_{l }^{2}.sin^{2}\frac{\alpha}{2} \Rightarrow $
$a = 2h_{l }sin\frac{\alpha}{2}$
В стената $ (BCM)$:
От $\triangle BCP \rightarrow \frac{BP}{BC} = sin\varphi \Leftrightarrow \frac{h_{l }}{a} = sin\varphi$
От $a = 2h_{l }sin\displaystyle\frac{\alpha}{2} \rightarrow \displaystyle\frac{h_{l }}{a} = \displaystyle\frac{1}{2sin\displaystyle\frac{\alpha}{2}} \Rightarrow sin\varphi = \displaystyle\frac{1}{2sin\displaystyle\frac{\alpha}{2}}$
$MH \bot BC$
От $\triangle HCM\rightarrow \frac{HC}{MC}= cos\varphi \Leftrightarrow \frac{a}{2l} = cos\varphi \Leftrightarrow \frac{1}{2}\frac{a}{l} = cos\varphi $
$\Rightarrow \frac{a}{l} = 2cos\varphi$
$cos\varphi = \sqrt{1 - sin^{2}\varphi} = \sqrt{1 - \displaystyle\frac{1}{4sin^{2}\displaystyle\frac{\alpha}{2}}} = \displaystyle\frac{\sqrt{4sin^{2}\displaystyle\frac{\alpha}{2} - 1} }{2sin\displaystyle\frac{\alpha}{2}}$
$$\displaystyle\frac{a}{l} = 2cos\varphi = \displaystyle\frac{\sqrt{4sin^{2}\displaystyle\frac{\alpha}{2} - 1}}{sin\displaystyle\frac{\alpha}{2}}$$