Ъгъл в триъгълник

[Гост]

Триъгълник ABC е такъв, че ъгъл BAC = 15 градуса и ъгъл CBA = 30 градуса. Построена е медианата CM към страната AB (М лежи на AB).
Да се намери големината на ъгъла ACM.

[Гост]

Триъгълник ABC е такъв, че ъгъл BAC = 15 градуса и ъгъл CBA = 30 градуса. Построена е медианата CM към страната AB (М лежи на AB).
Да се намери големината на ъгъла ACM.

Може ли да ми помогнете с тази задача. Мислих, но не успях да достигна до никакъв прогрес с всичките допълнителни означения и построения, които направих.

[Евва]

Построих равнобедрен трапец ABCD .
Получих отговор 30[tex]^\circ[/tex] .

[S.B.]

Триъгълник ABC е такъв, че ъгъл BAC = 15 градуса и ъгъл CBA = 30 градуса. Построена е медианата CM към страната AB (М лежи на AB).
Да се намери големината на ъгъла ACM.

Без заглавие - 2020-07-21T152116.342.png (200.95 KiB) Прегледано 563 пъти

Построявам [tex]CH \bot AB , H \in AB , CH = x[/tex]
За $\triangle CHB \rightarrow CH = x , BC = 2x , HC = x\sqrt{3}$ ($\angle HBC = 30^\circ , \angle HCB = 60^\circ)$
Разглеждам правоъгълния $\triangle AHC$
$\frac{AH}{HC} = cotg 15^\circ \Rightarrow AH = x.cotg 15^\circ$

$sin15^\circ = \sqrt{\frac{1 - cos30^\circ}{2}} \Rightarrow sin15^\circ = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2} , cos15^\circ = \sqrt{\frac{1 + cos30^\circ}{2}} = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2}$
$cotg 15^\circ = \frac{cos 15^\circ}{sin 15^\circ} = 2 + \sqrt{3}$

Тогава $AH = x.cotg 15^\circ = x(2 + \sqrt{3})$
$ AB = AH + BH = x(2 + \sqrt{3}) + x\sqrt{3} = x(2 + 2\sqrt{3}) = 2x(1 + \sqrt{3})$
$CM$ е медиана $\Rightarrow AM = MB = \frac{AB}{2} = x(1 + \sqrt{3})$
$MH = MB - HB = x(1 + \sqrt{3}) - x\sqrt{3} = x + x\sqrt{3} - x\sqrt{3} = x$
За правоъгълния $\triangle HCM \rightarrow MH = CH = x \Rightarrow $ е триъгълникът е равнобедрен и $\angle HCM = 45^\circ$
От условието за $\triangle ABC \rightarrow \angle CAB = 15^\circ ,\angle CBA = 30^\circ \Rightarrow \angle ACB = 135^\circ$
$\angle ACM + \angle MCH + \angle HCB = 135^\circ \Leftrightarrow \angle ACM + 45^\circ + 60^\circ = 135^\circ \Rightarrow$ $$\angle ACM = 30^\circ$$