Задача с ъгли в триъгълник

[Гост]

Здравейте, може ли помощ за следната задача:
Даден е триъгълник ∆АВС с <АВС = 45°. Върху страната ВС е взета точка D такава, че DC=2BD и <ADC=60°. Да се намери <АСВ

[Евва]

Да построим правоъгълен [tex]\triangle[/tex]АВН ([tex]\angle[/tex]АВН=90[tex]^\circ[/tex] ) ,като т.D лежи на отсечката АН .
Построяваме окр.К(О;R=[tex]\frac{АН}{2}[/tex]) -описана около [tex]\triangle[/tex]АВН .
АО=ВО [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\triangle[/tex]АВО е равнобедрен [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\angle[/tex]АВО=[tex]\angle[/tex]ОАВ=15[tex]^\circ[/tex]
[tex]\angle[/tex]OBD=[tex]\angle[/tex]ABC-[tex]\angle[/tex]ABO=45[tex]^\circ[/tex]-15[tex]^\circ[/tex]=30[tex]^\circ[/tex]
[tex]\angle[/tex]BDO=[tex]\angle[/tex]BDA=180[tex]^\circ[/tex]-[tex]\angle[/tex]ADC=180[tex]^\circ[/tex]-60[tex]^\circ[/tex]=120[tex]^\circ[/tex]
В [tex]\triangle[/tex]OBD намираме [tex]\angle[/tex]BOD=30[tex]^\circ[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\triangle[/tex]OBD е равнобедрен т.е. OD=BD=a (1)

Разглеждаме [tex]\triangle[/tex]ODM (т.M-среда на отс.CD)
OD=MD=a [от (1)] и [tex]\angle[/tex]ODM=60[tex]^\circ[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\triangle[/tex]ODM е равностранен т.е. ОМ=а (2)

Разглеждаме [tex]\triangle[/tex]OBD и [tex]\triangle[/tex]OMC
1.OD=CM=a
2.BD=OM=a
3.[tex]\angle[/tex]BDO=[tex]\angle[/tex]OMC=120[tex]^\circ[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex](по 1 признак) [tex]\triangle[/tex]OBD[tex]\cong[/tex][tex]\triangle[/tex]OMC [tex]\Rightarrow[/tex] OC=OB=R

С това доказахме,че т.С лежи на построената окръжност К(О;R) .
([tex]\angle[/tex]ACB и [tex]\angle[/tex]AHB са вписани)
[tex]\angle[/tex]АCB=[tex]\angle[/tex]AHB=180[tex]^\circ[/tex]-([tex]\angle[/tex]HAB+[tex]\angle[/tex]ABH)
[tex]\angle[/tex]ACB=180[tex]^\circ[/tex]-(15[tex]^\circ[/tex]+90[tex]^\circ[/tex])
[tex]\angle[/tex]ACB=75[tex]^\circ[/tex]

[Гост]

Благодаря

[S.B.]

Здравейте, може ли помощ за следната задача:
Даден е триъгълник ∆АВС с <АВС = 45°. Върху страната ВС е взета точка D такава, че DC=2BD и <ADC=60°. Да се намери <АСВ

Без заглавие - 2020-08-29T153559.762.png (272.04 KiB) Прегледано 448 пъти

Още един поглед върху задачата:

Нека [tex]BC = a , D\in BC, CB = 2BD \Rightarrow т.M\in BC , BD = DM = MC = \frac{a}{3}[/tex]
Построявам $CH\bot AD$
За правоъгълния $\triangle HDC \rightarrow \angle CDH = 60^\circ \Rightarrow \angle HCD = 30^\circ , CD = 2.\frac{a}{3} \Rightarrow HD = \frac{a}{3}$
За $\triangle HDB \rightarrow HD = BD = \frac{a}{3} , \angle CDH = 60^\circ$ (външен) $\Rightarrow \angle DHB = \angle DBH = 30^\circ$
За $\triangle CHB \rightarrow \angle HBC = \angle HCB = 30^\circ \Rightarrow$ е равнобедрен и $CH = HB$
За $\triangle ABD \rightarrow \angle ABD = 45^\circ , \angle ADB = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ \Rightarrow \angle BAD = 15^\circ$
За $\triangle ABH \rightarrow \angle BAH = 15^\circ , \angle ABH = \angle ABD - \angle HBD = 45^\circ - 30^\circ = 15^\circ \Rightarrow$ триъгълникът е равнобедрен и $AH = HB$
От $\begin{cases} AH = HB \\ CH = HB \end{cases} \Rightarrow AH = CH \Rightarrow \triangle AHC$ е равнобедрен
Но $\triangle AHC$ е правоъгълен по построение $\Rightarrow \angle HAC = \angle HCA = 45^\circ$
$\angle ACB = \angle ACH + \angle HCD = 45^\circ + 30^\circ = 75^\circ$