Задача триъгълник

[Гост]

Може лида помогнете за следната задача
Благодаря!

[S.B.]

Без заглавие - 2020-09-12T200926.725.png (277.38 KiB) Прегледано 553 пъти

a)
Построявам [tex]AM = p ,p \cap BC = Q_{1 }[/tex]
Построявам права $q \begin{cases} q Z C_{1 } \\ q|| p \end{cases} ,q\cap BC = K$
За $\triangle C_{1 }CK \rightarrow MQ_{1 } || C_{1 }K , т.M$ е среда на $CC_{1 } \Rightarrow т.Q_{1 }$ е среда на $CK \Rightarrow CQ_{1 } = Q_{1 }K$
$\triangle ABQ_{1 } \approx \triangle C_{1 }BK $ (понеже $C_{1 }K || AQ_{1 }$) $\rightarrow \frac{Q_{1 }B}{KB} = \frac{AB}{C_{1 }B} = \frac{2}{1}$(защото $C_{1 }$ е среда на $AB$)
$ \Rightarrow Q_{1 }K = KB$
Но $Q_{1 }C = Q_{1 }K $, а $Q_{1 }K = KB \Rightarrow CQ_{1 } = Q_{1 }K = KB \Rightarrow CQ_{1 } : Q_{1 }B = 1:2$
Но по условие $CQ:QB = 1 : 2 \Rightarrow Q_{1 } \equiv Q \Rightarrow A,M, Q$ лежат на правата $p$
б)
От свойството на ъглополовящата: $\rightarrow AC : BC = k \Rightarrow AL:LB = k$
Нека $AB = c$
$\begin{array}{|l} AL + LB = c\\ \displaystyle\frac{AL}{LB} = k \end{array} \Rightarrow AL = k.LB \Rightarrow k.LB + LB = c \Rightarrow LB = \displaystyle\frac{c}{k + 1}$
$\triangle CMN \cong \triangle AMC_{1 }$ (По втори признак) $ \Rightarrow CN = AC_{1 } = \frac{c}{2}$
$\triangle APL \approx \triangle CPN \Rightarrow\displaystyle \frac{CP}{PL} = \displaystyle\frac{CN}{AL} = \displaystyle\frac{\displaystyle \frac{c}{2}}{\displaystyle\frac{c}{k + 1}} $
$$ \frac{CP}{PL} = \frac{k + 1}{2}$$
Разглеждам $\triangle AQC$ в който $CP$ е ъглополовяща и $\frac{AC}{CQ} = \frac{AP}{PQ}$
$\displaystyle\frac{AC}{CQ} = \displaystyle\frac{AC}{\displaystyle\frac{BC}{3}} = 3.\frac{AC}{BC} = 3k$
$\frac{AC}{CQ} = 3k \Rightarrow \frac{AP}{PQ} = 3k$
Нека $AQ = m$
$\begin{array}{|l}\displaystyle \frac{AP}{PQ} = 3k \\ AP + PQ = m \end{array} \Rightarrow PQ =\displaystyle \frac{m}{3k + 1}$
$PM = PQ - MQ$
От $\triangle C_{1 }CK \rightarrow MQ = \frac{C_{1 }K}{2}$ (средна отсечка)
От подобните триъгълници $AQB$ и $C_{1 }KB$ имаме $C_{1 }K = \frac{AQ}{2} = \frac{m}{2} \Rightarrow MQ = \frac{AQ}{4} = \frac{m}{4}$
$PM = PQ - MQ = \frac{m}{3k + 1} - \frac{m}{4} = \frac{3}{4}m(\frac{1 - k}{3k + 1})$
$\displaystyle\frac{MP}{AQ} = \displaystyle\frac{\displaystyle\frac{3m(1 - k)}{4(3k + 1)}}{m} \Rightarrow$
$$\frac{MP}{AQ} = \frac{3(1 - k)}{4(3k + 1)}$$

[Гост]

Аз решавах задачата с вектори и за а) и първата част на б) за PC към PL получавам (k+1)/2 и съм съгласен, но за PM към AQ получавам модул от |(3k-3)/4|. Като вие сте използвали още при разглеждането на триъг.AQC, че AC към BC e k, но в условието пише, че BC към AC e k, от където идва и вашата грешка.

[miteto108]

Аз съм същия просто бях забравил да си влеза в профила. Да допълня, че в задачата никъде не пише коя от страните е по-голяма. За това разположението на точките може да е различно и всъщност k може да е от 0 до безкрайност и в някои случаи цялата дроб става отрицателно число. Също така искам да отбележа, че вашето решение ми хареса, тъй като аз не успях да намеря допълнителното построение на т. K. Така става много елегантно и бързо. Ще се опитам да кача и алгебричното решение с вектори утре, че сега нямам време да пиша.

[S.B.]

Към т.б) съм пропоуснала да отбележа:
Построявам права [tex]l \begin{cases} l Z C\\ l || AB \end{cases} , l\cap p = N[/tex]

[S.B.]

Аз съм същия просто бях забравил да си влеза в профила. Да допълня, че в задачата никъде не пише коя от страните е по-голяма. За това разположението на точките може да е различно и всъщност k може да е от 0 до безкрайност и в някои случаи цялата дроб става отрицателно число. Също така искам да отбележа, че вашето решение ми хареса, тъй като аз не успях да намеря допълнителното построение на т. K. Така става много елегантно и бързо. Ще се опитам да кача и алгебричното решение с вектори утре, че сега нямам време да пиша.

Благодаря Ви за хубавите думи! Точка [tex]K[/tex] намирам с едно построение,което се прави традиционно при задачи от този тип.Не мисля,че съм по-умна ,а просто имам по-богат опит с тези построения.Вярно е,че съм "обърнала" отношението и вместо $\frac{BC}{AC} = k$ съм писала $\frac{AC}{BC} = k$.Случват се такива работи.Но мисля,че идеята ми е ясна.
На мен ми направи впечатление,че в задачата нищо не се казва за $k$.При евентуална оценка на $k$ от страна автора ,би могло да се съди за разположението на върховете на триъгълника и тогава сигурно не бих допуснала тази грешка - още при правенето на чертежа щях да съобразя.
Ще се радвам да видя Вашето решение!

[miteto108]

Извинявам се за лошото качество. Не ми дава да кача качествена снимка