Докажете ,че

[Евва]

Докажете,че за всеки правоъгълен триъгълник е в сила неравенството

[tex]r_{a }[/tex]+[tex]r_{b }[/tex]+[tex]r_{c }[/tex]<a+b+c

Скрит текст: покажи

Извинете ме ,ако греша някъде.

[Гост]

От първото равенство: http://forumgeom.fau.edu/FG2006volume6/FG200639.pdf следва, че $r_a+r_b+r_c=a+b+c-r$, но $r=\frac{a+b-c}{2}$ (ако правият ъгъл е $C$), а след това съобразяваме, че за произволен триъгълник е в сила $a+b>c$.

[Гост]

Само споменатата зависимост от линка доказва неравенството, защото $r>0$, но могат да се направят някои разсъждения за минимума на този израз.

[Евва]

Гост ,как доказваш ,че [tex]r_{a }[/tex]+[tex]r_{b }[/tex]+[tex]r_{c }[/tex]+r=a+b+c

[Гост]

Гост ,как доказваш ,че [tex]r_{a }[/tex]+[tex]r_{b }[/tex]+[tex]r_{c }[/tex]+r=a+b+c

Според теоремата доказана в посочения LINK :[tex]r_{a }+r_{b } + r_{c } + r = a + b + c[/tex]

[S.B.]

Докажете,че за всеки правоъгълен триъгълник е в сила неравенството

[tex]r_{a }[/tex]+[tex]r_{b }[/tex]+[tex]r_{c }[/tex]<a+b+c

Скрит текст: покажи

Извинете ме ,ако греша някъде.

Без заглавие - 2020-10-18T220001.127.png (275.06 KiB) Прегледано 449 пъти

За [tex]\triangle ABC \rightarrow \angle C = 90^\circ , AB = c ,BC = a ,AC = b[/tex] , окр. $k(O,r)$ вътрешно вписана; $r_{a },r_{b },r_{c }$ са радиуси на външновписаните окръжности.
Използвам формулата за лице :
$$S_{ABC } = r_{a }(p - a) = r_{b }(p - b) = r_{c }(p - c)$$
и получавам:
$r_{a } = \frac{S_{ABC }}{p - a} = \frac{p.r}{p - a}$ , $r_{b } = \frac{p.r}{p - b}$ , $r_{c } = \frac{p.r}{p - c}$
$r_{a } + r_{b } + r_{c } = p.r (\frac{1}{p - a} + \frac{1}{p - b} + \frac{1}{p - c})$ (*)
Използвам, че $ p = c + r$ и получавам:
$p - a = c + r - a = c - (a - r) = b - r$
$p - b = c + r - b = c - (b - r) = a - r$
$p - c = c + r - c = r$
Тогава равенството (*)придобива следният вид:

$r_{a } + r_{b } + r_{c } = p.r(\frac{1}{b - r} + \frac{1}{a - r} + \frac{1}{r}) = p(\frac{r}{b - r} + \frac{r}{a - r} + 1) = p[\frac{r(a - r + b - r)}{(a - r)(b - r)} + 1] \Leftrightarrow$
$r_{a } + r_{b } + r_{c } = \frac{a + b + c}{2}(\frac{cr}{ab - (br + ar) + r^{2}} + 1)$

$cr = 2S_{\triangle AOB}$ , $ab = 2S_{\triangle ABC}$ , $br = 2S_{\triangle AOC}$ , $ar = 2S_{\triangle BOC}$
Преобразувам:
$\frac{cr}{ab - (br + ar) + r^{2}} + 1 = \frac{2S_{\triangle AOB}}{2S_{\triangle ABC} - 2(S_{\triangle AOC} + S_{\triangle BOC}) + r^{2}} + 1 = \frac{2S_{\triangle AOB}}{2S_{\triangle AOB} + r^{2}} + 1 = $
$ = \frac{2S_{\triangle AOB} + 2S_{\triangle AOB} + r^{2}}{2S_{\triangle AOB} + r^{2}} = \frac{4S_{\triangle AOB} + r^{2}}{2S_{\triangle AOB} + r^{2}}$
И получавам:
$r_{a } + r_{b } + r_{c } = \frac{a + b + c}{2}.(\frac{4S_{\triangle AOB} + r^{2}}{2S_{\triangle AOB} + r^{2}})\Leftrightarrow$
$ r_{a } + r_{b } + r_{c } = (a + b + c). \frac{4S_{\triangle AOB} + r^{2}}{4S_{\triangle AOB} + 2r^{2}} < a + b + c$ , защото $\frac{4S_{\triangle AOB} + r^{2}}{4S_{\triangle AOB} + 2r^{2}} < 1 \Rightarrow$ $$ r_{a } + r_{b } + r_{c } < a + b + c$$