Геометрична задача

[skadevil]

В [tex]\triangle[/tex]ABC със страни BC = 4cm и AC = 6cm са построени медианите AA1 и BB1, а точка M е неговия медицентър. Ако точките C, A1, B1 и M лежат на една окръжност, да се намери дължината на страната AB. (според мен задача трябва да се реши с косинусова теорема, но не знам как да изразя [tex]\gamma[/tex] при върха C.

[Евва]

АВ=[tex]\sqrt{26}[/tex] см.

[S.B.]

В [tex]\triangle[/tex]ABC със страни BC = 4cm и AC = 6cm са построени медианите AA1 и BB1, а точка M е неговия медицентър. Ако точките C, A1, B1 и M лежат на една окръжност, да се намери дължината на страната AB. (според мен задача трябва да се реши с косинусова теорема, но не знам как да изразя [tex]\gamma[/tex] при върха C.

geogebra-export.png (177.02 KiB) Прегледано 412 пъти

Ако точките [tex]A_{1 },M,B_{1 },C[/tex] лежат на една окръжност,
то ако $\angle C = \gamma \Rightarrow \angle B_{1 }MA_{1 } = 180^\circ - \gamma \Rightarrow \angle A_{1 }MB = \angle B_{1 }MA = 180^\circ - (180^\circ - \gamma) = \gamma$
Нека $AA_{1 } = x , BB_{1 } = y$
$\triangle BCB_{1 } \approx \triangle BMA_{1 } \Rightarrow \frac{BB_{1 }}{BA_{1 }} = \frac{BC}{MB} \Leftrightarrow \frac{y}{2} = \frac{4}{\frac{2}{3}y}\Rightarrow y = \sqrt{12}$
$\triangle ACA_{1 } \approx AMB_{1 } \Rightarrow \frac{AC}{AM} = \frac{AA_{1 }}{AB_{1 }} \Leftrightarrow\frac{6}{\frac{2}{3}x} = \frac{x}{3} \Rightarrow x = \sqrt{27}$
За $\triangle ACA_{1 }$ Прилагам Косинусова теорема:
$AA_{1 }^{2} = AC^{2} + A_{1 }C^{2} - 2.AC.A_{1 }C.cos\gamma \Leftrightarrow 27 = 36 + 4 - 24.cos\gamma \Rightarrow cos\gamma = \frac{13}{24}$
За да намериш $AB$ прилагаш Косинусова теорема или за $\triangle ABC$ или за $\triangle ABM$
По удобно е за $\triangle ABC$
Аз май се поувлякох и намерих и двете медиани ,достатъчно беше само едната за да се изрази $cos\gamma$
Отговорът е като на Евва $AB = \sqrt{26}$

[skadevil]

Благодаря много!

[Евва]

Скрит текст: покажи

Извинявайте за закъснението на отговора ми.

(2 начин) Построих описаната окр. около М[tex]А_{1 }[/tex]С[tex]В_{1 }[/tex] и забелязах ,че [tex]\angle[/tex][tex]В_{1 }[/tex]ВС е ъгъл ,
върхът на който е външна точка за окръжността [tex]\Rightarrow[/tex]

В[tex]А_{1 }[/tex].ВС=ВМ.В[tex]В_{1 }[/tex]
2.4=[tex]\frac{2}{3}[/tex]В[tex]В_{1 }[/tex].В[tex]В_{1 }[/tex]
медианата В[tex]В_{1 }[/tex]=[tex]\sqrt{12}[/tex] см. [tex]\Rightarrow[/tex] формулата

[tex]ВВ_{1 }^{2}[/tex]=[tex]\frac{2ВС^{2}+2АВ^{2}-АС^{2}}{4}[/tex]

12=[tex]\frac{2.16+2АВ^{2}-36}{4}[/tex] ...
АВ=[tex]\sqrt{26}[/tex] см.