Метрични зависимости в пръвоъгълен триъгълник

[Гост]

1. Лицето на ромб е равно на 24, а сумата от дължините на диагоналите му е равна на 14. Лицето на вписания в ромба кръг е равно на:

2. Вписаната в ромба ABCD окръжност се допира до стената AB в точка P. Ако радиусът на окръжността е 12 а AP е 16мм, то периметърът на ромба е:

3. Около трапеца ABCD с основи AB = 40СМ и CD = 10СМ е описана окръжност. Ако в трапеца е вписана окръжност, то дължината на нейния радиус е:

Благодаря много предварително!

[Евва]

1.ABCD-ромб,т.O е пресечна точка на AC и BD ,ОН е височина в [tex]\triangle[/tex]АВО ,AC=[tex]d_{1 }[/tex] ,BD=[tex]d_{2 }[/tex] ,[tex]d_{1 }[/tex]+[tex]d_{2 }[/tex]=14 ,
кръг K(O;r) е вписан в ABCD ,[tex]S_{ABCD }[/tex]=24
[tex]S_{кръг}[/tex]= ? (r=OH= ? )

[tex]S_{ABCD }[/tex]=[tex]\frac{d_{1 }d_{2 }}{2}[/tex] ; 24=[tex]\frac{d_{1 }d_{2 }}{2}[/tex] ; [tex]d_{1 }[/tex][tex]d_{2 }[/tex]=48 (1) дадено е [tex]d_{1 }[/tex]+[tex]d_{2 }[/tex]=14 (2)
ABCD-ромб [tex]\Rightarrow[/tex] AC[tex]\bot[/tex]BD [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\angle[/tex]AOB=90[tex]^\circ[/tex] т.е. [tex]\triangle[/tex]АВО е правоъгълен
Тогава ОН се явява височина към хипотенуза в правоъгълния [tex]\triangle[/tex]АВО .
Ще използваме формулата [tex]\frac{1}{a^{2}}[/tex] +[tex]\frac{1}{b^{2}}[/tex]=[tex]\frac{1}{h_{c }^{2}}[/tex] ; (според нашия чертеж) [tex]\frac{1}{BO^{2}}[/tex]+[tex]\frac{1}{AO^{2}}[/tex]=[tex]\frac{1}{OH^{2}}[/tex]

[tex]\frac{1}{(\frac{d_{2 }}{2})^{2}}[/tex]+[tex]\frac{1}{(\frac{d_{1 }}{2})^{2}}[/tex]=[tex]\frac{1}{r^{2}}[/tex] ;[tex]\frac{4}{d_{2 }^{2}}[/tex]+[tex]\frac{4}{d_{1 }^{2}}[/tex]=[tex]\frac{1}{r^{2}}[/tex] ; [tex]\frac{1}{r^{2}}[/tex]=[tex]\frac{4(d_{1 }^{2}+d_{2 }^{2})}{(d_{1 }d_{2 })^{2}}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]r^{2}[/tex]=[tex]\frac{(d_{1 }d_{2 })^{2}}{4[ (d_{1 }+d_{2 })^{2}-2d_{1 }d_{2 } ]}[/tex] (3)

Скрит текст: покажи

Заместваме (1) и (2) в (3).

[tex]r^{2}[/tex]=[tex]\frac{48^{2}}{4(14^{2}-2.48)}[/tex]=[tex]\frac{48^{2}}{4(196-96)}[/tex]=[tex]\frac{48^{2}}{20^{2}}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] r=2,4

[tex]S_{кръг }[/tex]= ...

[S.B.]

1. Лицето на ромб е равно на 24, а сумата от дължините на диагоналите му е равна на 14. Лицето на вписания в ромба кръг е равно на:

2. Вписаната в ромба ABCD окръжност се допира до стената AB в точка P. Ако радиусът на окръжността е 12 а AP е 16мм, то периметърът на ромба е:

3. Около трапеца ABCD с основи AB = 40СМ и CD = 10СМ е описана окръжност. Ако в трапеца е вписана окръжност, то дължината на нейния радиус е:

Благодаря много предварително!

Без заглавие - 2020-12-19T161413.866.png (371.68 KiB) Прегледано 473 пъти

Задача 1.
Подлагаш диагонала $BD$ на транслация с вектор [tex]\vec{CD}[/tex] при която $D\rightarrow C , B\rightarrow M$
$\triangle АMC$ е равнолцев с ромба $ABCD$ защото $S_{AMC } = \frac{AC.MC}{2}$
$S_{AMC } = \frac{AM.CH}{2} \Leftrightarrow \frac{AM.2r}{2} = 24$
По Питагорова теорема $AC^{2} + MC^{2} = AM^{2}$
$AC^{2} + MC^{2} = (AM + MC)^{2} - 2AM.MC = 14^{2} - 4.24 = 196 - 96 = 100 \Rightarrow AM = \sqrt{100} = 10$
$ S_{AMC } = \frac{AM.CH}{2} \Leftrightarrow 24 = \frac{10.2r}{2} \Leftrightarrow 24 = 10.r \Rightarrow r = 2,4$
$ S_{вп.кр. } = \pi.r^{2} = \pi (2,4)^{2} = 5,76 \pi$

Задача 2.
$\triangle AOB$ е правоъгълен с хипотенуза $AB$ и височина към хипотенузата $OP = r$
$OP^{2} = AP.PB \Leftrightarrow 12^{2} = 16.x\Rightarrow x = 9 \Rightarrow AB = 25 \Rightarrow P_{ABCD } = 100$

Задача 3.
Около трапеца $ABCD$ е описана окръжност $\rightarrow AD = BC$
В трапеца $ABCD$ е вписана окръжност $\rightarrow AB + CD = AD + BC = 50$
От $\begin{cases} AD = BC \\ AD + BC = 50 \end{cases} \Rightarrow AD = BC = 25$
От $\triangle BCH \rightarrow CH^{2} = BC^{2} - CH^{2}$
$CH = 2r , BH = \frac{AB - CD}{2} = \frac{40 - 10}{2 } = 15$
$(2r)^{2} = 25^{2} - 15^{2} = 625 - 225 = 400 \Rightarrow 2r = 20 \Rightarrow r = 10$

[S.B.]

Задача 1.
Подлагаш диагонала $BD$ на транслация с вектор [tex]\vec{CD}[/tex] ...

Да се чете : вектор [tex]\vec{DC}[/tex]

Съжалявам!