Равнобедрен триъгълник

[Гост]

В равнобедрен триъгълник с основа 4 и бедро 6 ъглополовящата на ъглите при основата пресичат бедрата в точките P и Q. Да се намери дължната на отсечката PQ.

[Nathi123]

За триъг. ABC AC=BC=6 ;AB = 4 .Нека [tex]\angle CAB = \angle ABC=\alpha ; \angle CAP=\angle PAB=\frac{\alpha}{2}; P\in BC;\angle ABQ=\angle CBQ=\frac{\alpha}{2};[/tex]
[tex]Q\in AC\Rightarrow AQ=BP ( \triangle ABQ\cong \triangle ABP) \Rightarrow CQ=CP ; \triangle CQP\Rightarrow \angle CQP=\angle QPC=\frac{180^\circ-\angle ACB}{2}=\alpha[/tex]
[tex]\Rightarrow AB|| PQ\Rightarrow \angle QAP=\angle PAB=\angle QPA=\frac{\alpha}{2}\Rightarrow AQ=PQ;\frac{AQ}{CQ}=\frac{AB}{BC}[/tex]
(ВQ -ъглополовяща в [tex]\triangle ABC[/tex]).
[tex]\Rightarrow \frac{AQ}{CQ}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}\Rightarrow AQ=2x;CQ=3x\Rightarrow AC=5x=6\Leftrightarrow x=\frac{6}{5}\Rightarrow AQ=PQ=2.\frac{6}{5}=2,4[/tex].