Правоъгълен триъгълник

[Гост]

В правоъгълен [tex]\triangle[/tex]ABC е построена ъглополовящата BD , а през т.D - права, перпендикулярна на BD, която разделя хипотенузата AB на отсечки AM=5см и BM = 40 см. Да се намерят катетите

[Евва]

ВС=36 см. ,АС=27 см.

[Гост]

Може ли да видя цялостното решение на задачата?

[Евва]

Сега нямам време ,но вечерта ще пусна решението си .
Гост ,за кой клас е тази задача ?

[Гост]

ВС=36 см. ,АС=27 см.

Аз получавам [tex]BC = \frac{45}{2} , AC = \frac{45}{2}\sqrt{3}[/tex]

[Евва]

Нека DH е височина в [tex]\triangle[/tex]ABD (т.Н лежи на отсечката АВ) .

Скрит текст: покажи

При моя чертеж последователността е т.А ,т.М ,т.Н ,т.В .

ВС=а=? AD=[tex]b_{1 }[/tex]=? CD=[tex]b_{2 }[/tex]=?

[tex]\triangle[/tex]MBD[tex]\approx[/tex][tex]\triangle[/tex]DBC ( 1 признак ) [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{MB}{BD}[/tex]=[tex]\frac{BD}{BC}[/tex] ;[tex]\frac{40}{BD}[/tex]=[tex]\frac{BD}{a}[/tex] ;[tex]BD^{2}[/tex]=40a (1)

BD е ъглополовяща в [tex]\triangle[/tex]АВС [tex]BD^{2}[/tex]=АВ.ВС-АD.CD [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]BD^{2}[/tex]=45a-[tex]b_{1 }[/tex][tex]b_{2 }[/tex] (2)
От (1) и (2) [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]b_{1 }[/tex][tex]b_{2 }[/tex]=5a т.е. [tex]b_{2 }[/tex]=[tex]\frac{5a}{b_{1 }}[/tex] (3)
[tex]\triangle[/tex]AHD[tex]\approx[/tex][tex]\triangle[/tex]ABC (1 признак) [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{DH}{BC}[/tex]=[tex]\frac{AD}{AB}[/tex]

Скрит текст: покажи

Лесно се доказва ,че DH=DC=[tex]b_{2 }[/tex] .

[tex]\frac{b_{2 }}{a}[/tex]=[tex]\frac{b_{1 }}{45}[/tex] ; [tex]b_{2 }[/tex]=[tex]\frac{ab_{1 }}{45}[/tex] (4)
От (3) и (4) [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{5a}{b_{1 }}[/tex]=[tex]\frac{ab_{1 }}{45}[/tex] ; [tex]b_{1 }[/tex]=15 см.

Скрит текст: покажи

Връщаме се към (3) .

[tex]b_{2 }[/tex]=[tex]\frac{a}{3}[/tex] (5)

Построяваме окр.К(D;r=[tex]b_{2 }[/tex]) .BH и BC са допирателни през точка В-външна за окр.К [tex]\Rightarrow[/tex] ВН=ВС=а ,тогава АН=45-а (6)
([tex]\triangle[/tex]AHD - правоъгълен) [tex]AH^{2}[/tex]+[tex]DH^{2}[/tex]=[tex]AD^{2}[/tex] (виж (5) и (6))
[tex](45-a)^{2}[/tex]+([tex]\frac{a}{3})^{2}[/tex]=[tex]15^{2}[/tex] ...
[tex]а^{2}[/tex]-81а+1620=0 ; D=6 561-6 480=81; [tex]a_{1,2 }[/tex]=[tex]\frac{81\pm9}{2}[/tex]
[tex]a_{1 }[/tex]=45 см.отпада ,защото трябва катетът а<c ; [tex]a_{2 }[/tex]=36 см.
От (5) намираме [tex]b_{2 }[/tex]=12 см.[tex]\Rightarrow[/tex]b=15+12=27 см.
Отговор : ВС=36 см. ,АС=27 см.

[S.B.]

Без заглавие - 2021-01-29T195121.951.png (245.57 KiB) Прегледано 377 пъти

Аз получих същите отговори като на @Евва!
Не е казано за кой клас е задачата,за това представям и едно тригонометрично решение.

Нека $CB = a ,BD = l , \angle ABC = \beta , \angle ABD = \angle CBD = \frac{\beta}{2}$
От [tex]\triangle ABC \rightarrow \frac{BC}{AB} = cos\angle B \Leftrightarrow \frac{a}{45} = cos\beta[/tex]
От $\triangle DBC \rightarrow \frac{BC}{BD} = cos\angle CBD \Leftrightarrow \frac{a}{l} = cos\frac{\beta}{2}$
$\triangle DBC \approx \triangle MBD \Rightarrow \frac{BC}{BD} = \frac{BD}{BM} \Leftrightarrow \frac{a}{l} = \frac{l}{40}\Rightarrow l^{2} = 40.a$

$ cos^{2}\displaystyle\frac{\beta}{2} = \displaystyle\frac{1 + cos\beta}{2} \Leftrightarrow 2cos^{2}\frac{\beta}{2} = 1 + cos\beta$

$\begin{array}{|l} 2\displaystyle\frac{a^{2}}{l^{2}} = 1 + \displaystyle\frac{a}{45}\\ l^{2} = 40.a \end{array} \Rightarrow 2.\displaystyle\frac{a^{2}}{40.a} = 1 + \displaystyle \frac{a}{45} \Leftrightarrow \displaystyle\frac{a}{20} = 1 + \frac{a}{45} \Rightarrow 25a = 900 \Rightarrow a = 36$
$ AC = \sqrt{45^{2} - 36^{2}} = \sqrt{729} =27$
$$AC = 27 , BC = 36$$

[math10.com]

menelai.png (47.93 KiB) Прегледано 368 пъти

Ето едно решение и от мен.Малко материал от математика за профилирани паралелки.
Ще използвам свойство на ъглополовящата [tex]\frac{AD}{CD}=\frac{AB}{BC}[/tex] и теорема на Менелай:

[tex]\frac{BM}{MA}.\frac{AD}{DC}.\frac{CN}{BN}=1[/tex]

[tex]\frac{40}{5}.\frac{m}{n}.\frac{40-a}{40}=1[/tex]

[tex]\Rightarrow \frac{\cancel{40}}{\cancel{5}}.\frac{\cancel{45}^9}{a}.\frac{40-a}{\cancel{40}}=1[/tex]

[tex]\Rightarrow 360-9a=9 \Rightarrow a=36[/tex]

Сега с теорема на Питагор: [tex]b=\sqrt{c^2-a^2}=\sqrt{45^2-36^2}=\sqrt{(45-36)(45+36)}=\sqrt{9.81}=\sqrt{27^2}=27[/tex]

П.П. Такъв тип решения не са популярни , но го пускам за разнообразие.А и за да потвърдим максимата , че една задача може да се реши по много различни начини.

[Евва]

Скъпи ученици ,разгледайте трите решения .
Осъзнавате ли ,че с колкото по-скъпи "инструменти" разполагате ,толкова по-лесно ще решите дадена задача ?