Задача по Аналитична Геометрия

[Гост]

Здравейте,трябва ми малко помощ,имам домална по аналитична геометрия и една задача ме затруднява,професора не я е преподавал ,ако някой може да помогне ,Задача 5 .

[Nathi123]

5.зад. а) [tex]p:x+2y-3=0 \Leftrightarrow p: y=-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2} ; p'\bot p ; M(3,-3)\in p '\Rightarrow p': y =kx+b ; k.(-\frac{1}{2})=-1\Leftrightarrow k=2[/tex]
[tex]p': y =2x+b ; M(3,-3)\in p '\Rightarrow b=-9; p\cap p'= O[/tex] .Координатите на т.О са решенията на системата [tex]\begin{array}{|l} y=-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2} \\ y= 2x-9 \end{array}[/tex].
т.е.[tex]O( \frac{21}{5},-\frac{3}{5}) ; M'\in p'; MO=M'O\Rightarrow x_{O }=\frac{1}{2}(x_{M }+x_{M' })\Leftrightarrow x_{M' }=\frac{27}{5};y_{M }=\frac{9}{5}[/tex]
б) MNPQ - квадрат [tex]\Rightarrow MN\bot NP ; N,P\in p \Rightarrow MN\equiv p; MN\bot NP\Rightarrow MN\equiv p';p\cap p'=O\Rightarrow O\equiv N( \frac{21}{5},-\frac{3}{5}).[/tex]
[tex]MN=NP=\frac{3\sqrt{10}}{5}; P(x_{P },y_{P })=\sqrt{(x_{P }-\frac{21}{5})^{2}+(y_{P }+\frac{3}{5})^{2}};P\in p\Rightarrow x_{P }=-2y_{P }+3\Rightarrow[/tex]
[tex]25y_{P }^{2}+30y_{P }-27=0 \Leftrightarrow y_{P }=\frac{3}{5}\cup y_{P }=-\frac{9}{5}\Rightarrow x_{P }=\frac{9}{5}\cup x_{P }=\frac{33}{p}[/tex]
За определяне на координатите на Q може да използваме,че тази точка е точка от права успоредна на р и минаваща през М,също МQ = MN .
в) Определяме точка L(x_{L },y_{L }) на разстояние 5 от правата р ,като [tex]5=\frac{|x_{L }+2y_{L }-3|}{\sqrt{1+2^{2}}}\Leftrightarrow 5=\frac{|x_{L }+2y_{L }-3|}{\sqrt{5}}[/tex] ( получават се две такива точки) .През L построяваме права успоредна на р.

[Гост]

Много благодаря

[math10.com]

Аз бих предложил това.Метод тип построителна задача.
a)Нека построим окръжност [tex]k_1(M,R)[/tex] ,която се допира до [tex]g[/tex] и нека [tex]g\cap k_1=N[/tex]
[tex]\begin{array}{|l} x + 2y = 3 \Rightarrow x=3-2y\\(x-3)^2 +(y+3)^2 = R^2 \Rightarrow (-2y)^2+y^2+6y+9-R^2 =0\end{array}[/tex]

[tex]\Rightarrow 5y^2+6y+9-R^2=0[/tex] за да имаме единствена точка( допиране) трябва дискриминантата да е нула
[tex]y=\frac{-6}{10}=-\frac{3}{5} \Rightarrow x=3-2y=\frac{21}{5} \Rightarrow N(\frac{21}{5};-\frac{3}{5})[/tex]

б)Нека построим окръжност [tex]k_2(N,R)[/tex] [tex]g\cap k_2=P_1 ; P_2[/tex] , координатите на [tex]P_1 ; P_2[/tex] ще намерим решавайки системата:
[tex]\begin{array}{|l} x +2y = 3 \Rightarrow x=3-2y\\ (x-\frac{21}{5})^2 + (y+\frac{3}{5}) = R^2=\frac{144}{20} \end{array}[/tex] , където [tex]R^2=\frac{144}{20}[/tex] намираме от подточка а)

[tex]\Rightarrow (-2y-\frac{6}{5})^2+(y+\frac{3}{5})^2=\frac{144}{20} \Rightarrow 5(y+\frac{3}{5})^2=\frac{144}{20}[/tex]
[tex]\Rightarrow (y+\frac{3}{5})^2=\frac{144}{100} \Rightarrow y_1=\frac{12}{10}-\frac{3}{5}=\frac{3}{5} \Rightarrow x_1=\frac{9}{5}; y_2=-\frac{12}{10}-\frac{3}{5}=-\frac{9}{5} \Rightarrow x_2=\frac{33}{5} \Rightarrow P_1(\frac{9}{5}; \frac{3}{5}) ; P_2(\frac{33}{5}; -\frac{9}{5})[/tex]
За намиране на точките [tex]Q_1[/tex] и [tex]Q_2[/tex] предлагам следното.Ако [tex]O_1[/tex] и [tex]O_2[/tex] са съответно центровете на търсените квадрати то те са съответно среди [tex]O_1[/tex] на [tex]MP_1[/tex] и [tex]NQ_1[/tex] и [tex]O_2[/tex] на [tex]MP_2[/tex] и [tex]NQ_2[/tex]
[tex]\Rightarrow O_1(\frac{12}{5}; -\frac{6}{5}) ; O_2(\frac{16}{5} ;-\frac{12}{5}) \Rightarrow Q_1(\frac{3}{5}; -\frac{9}{5}) ; Q_2(\frac{9}{5}; -\frac{21}{5})[/tex]

За подточка в) Отново може да построим окръжност [tex]k_3(M;5)[/tex] и търсим прави [tex]p||q_1 : x+2y=c_1[/tex] и [tex]p|| q_2: x+2y=c_2[/tex] , такива , че да са допирателни на [tex]k_3[/tex] , като коефициентите [tex]c_1 ; c_2[/tex] , намираме решавайки системaтa:
[tex]\begin{array}{|l} x+2y=c_1 \\ (x-3)^2+(y+3)^2 = 25 \end{array}[/tex] ,така че тя да има единствено решение ([tex]q_1;q_2[/tex] са допирателни на [tex]k_3[/tex])