Триъгълник

[Гост]

ABC e вписан в окръжност и ъгъл С е 69 градуса. Симетралата на АВ пресича описаната около триъгълника окръжност в точките M и N. Коя е мярката на ъгъл BMN?

[Nathi123]

Нека к( О,R) -окръжност описана около триъг.АВС;построяваме права р през т.О и перпендикулярна на АВ.Следователно р е симетралата на АВ.
[tex]p\cap k={M,N};M\in дъг.AB; N\in дъг. AC; p\cap AB = P ]AO=OB=R\Rightarrow \angle AOP=\angle POB[/tex] и центр. ъгли
[tex]\Rightarrow дъг.АМ=дъг. ВМ[/tex]
[tex]\angle AOB=2\angle POB=дъг. AMB[/tex] ( централен ъгъл за к).[tex]\angle ACB=69^\circ =\frac{1}{2} дъг.AMB[/tex] ( вписан ъгъл за к).
[tex]\Rightarrow \angle MOB=\angle POB=\angle ACB=69^\circ; \triangle MOB \Rightarrow OM=OB=R\Rightarrow \angle OMB=\angle OBM = \frac{1}{2}(180^\circ - 69^\circ)[/tex]
[tex]\Rightarrow \angle OMB=\angle BMN=55^\circ 30'[/tex].