Триъгълник

[Гост]

Точка О е център на вписаната в ABC окръжност, а R и R1 са радиуси на описаните окръжности съответно около ABC и AOB. Ако R1=R по корен от 3, намерете мярката на ъгъл ACB.

[S.B.]

Точка О е център на вписаната в ABC окръжност, а R и R1 са радиуси на описаните окръжности съответно около ABC и AOB. Ако R1=R по корен от 3, намерете мярката на ъгъл ACB.

Без заглавие - 2021-03-13T220635.527.png (197.69 KiB) Прегледано 266 пъти

Нека [tex]\angle A = \alpha , \angle B = \beta \angle C = \gamma ,AB = c,OA , OB -[/tex]ъглополовящи,(защото т.$O$ е прес. точка на ъглополовящите)
За $\triangle ABC$:
$\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ \Leftrightarrow \alpha + \beta + \gamma = 180^\circ \Leftrightarrow \alpha + \beta = 180^\circ - \gamma |:2 \rightarrow \frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2} = 90^\circ - \frac{\gamma}{2}$

За $\triangle AOB$:
$\angle OAB + \angle OBA + \angle AOB = 180^\circ \Leftrightarrow \frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2} + \angle AOB = 180^\circ \Leftrightarrow 90^\circ - \frac{\gamma}{2} + \angle AOB = 180^\circ \Rightarrow $
$\angle AOB = 90^\circ + \frac{\gamma}{2}$
За $\triangle ABC$ прилагам Синусова теорема:
$\frac{AB}{sin\gamma} = 2R \Leftrightarrow c = 2Rsin\gamma$

За $\triangle AOB$ прилагам Синусова теорема:
$\frac{AB}{sin\angle AOB} = 2R_{1 } \Leftrightarrow c = 2R_{1 }sin(90^\circ + \frac{\gamma}{2})\Rightarrow c = 2R\sqrt{3}cos\frac{\gamma}{2}$

От $\begin{cases} c=2Rsin\gamma\\ c = 2R\sqrt{3}cos\displaystyle\frac{\gamma}{2} \end{cases} \rightarrow 2Rsin\gamma = 2R\sqrt{3}cos\displaystyle\frac{\gamma}{2}\Leftrightarrow sin\gamma = \sqrt{3}cos\frac{\gamma}{2} \Leftrightarrow 2sin\frac{\gamma}{2}cos\frac{\gamma}{2} = \sqrt{3}cos\frac{\gamma}{2}\Leftrightarrow$
$2sin\frac{\gamma}{2} = \sqrt{3}\Rightarrow sin\frac{\gamma}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow \frac{\gamma}{2} = 60^\circ \Rightarrow \gamma = 120^\circ$
$$\angle ACB = \gamma = 120^\circ$$